Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59830 / 59203
↖ ↑ ↗
← S 80.931024°
E148.656006°		 ← 96.27 m → S 80.931024°
E148.661499°		 →
↑
96.27 m
↓
↑
96.27 m
↓
S 80.931889°
E148.656006°		 ← 96.27 m →
9 267 m²		 S 80.931889°
E148.661499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912940979003906 y=0.903373718261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912940979003906 × 216)
    floor (0.912940979003906 × 65536)
    floor (59830.5)     		tx = 59830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903373718261719 × 216)
    floor (0.903373718261719 × 65536)
    floor (59203.5)     		ty = 59203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59830 / 59203 ti = "16/59830/59203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59830/59203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59830 ÷ 216
    59830 ÷ 65536     		x = 0.912933349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59203 ÷ 216
    59203 ÷ 65536     		y = 0.903366088867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912933349609375 × 2 - 1) × π
    0.82586669921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59453676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903366088867188 × 2 - 1) × π
    -0.806732177734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.53442388291237
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59453676} λ = 2.59453676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53442388291237))-π/2
    2×atan(0.0793073964520357)-π/2
    2×0.0791417488554882-π/2
    0.158283497710976-1.57079632675     		φ = -1.41251283
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59453676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.656006°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41251283 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.931024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59830 KachelY 59203 2.59453676 -1.41251283 148.656006 -80.931024
    Oben rechts KachelX + 1 59831 KachelY 59203 2.59463263 -1.41251283 148.661499 -80.931024
    Unten links KachelX 59830 KachelY + 1 59204 2.59453676 -1.41252794 148.656006 -80.931889
    Unten rechts KachelX + 1 59831 KachelY + 1 59204 2.59463263 -1.41252794 148.661499 -80.931889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41251283--1.41252794) × R
    1.51099999998738e-05 × 6371000     		dl = 96.2658099991962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41251283--1.41252794) × R
    1.51099999998738e-05 × 6371000     		dr = 96.2658099991962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59453676-2.59463263) × cos(-1.41251283) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157623393944122 × 6371000     		do = 96.2744412869598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59453676-2.59463263) × cos(-1.41252794) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.15760847281172 × 6371000     		du = 96.265327641774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41251283)-sin(-1.41252794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157623393944122-0.15760847281172)×R²
    abs(2.59463263-2.59453676)×1.49211324020626e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.49211324020626e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.49211324020626e-05×40589641000000     		ar = 9267.49840665682m²