Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59830 / 35639
↖ ↑ ↗
← N 63.165516°
W 15.671997°		 ← 137.87 m → N 63.165516°
W 15.669250°		 →
↑
137.87 m
↓
↑
137.87 m
↓
N 63.164276°
W 15.671997°		 ← 137.88 m →
19 009 m²		 N 63.164276°
W 15.669250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456470489501953 y=0.271907806396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456470489501953 × 217)
    floor (0.456470489501953 × 131072)
    floor (59830.5)     		tx = 59830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271907806396484 × 217)
    floor (0.271907806396484 × 131072)
    floor (35639.5)     		ty = 35639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59830 / 35639 ti = "17/59830/35639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59830/35639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59830 ÷ 217
    59830 ÷ 131072     		x = 0.456466674804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35639 ÷ 217
    35639 ÷ 131072     		y = 0.271903991699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456466674804688 × 2 - 1) × π
    -0.087066650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27352795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271903991699219 × 2 - 1) × π
    0.456192016601562 × 3.1415926535     		Φ = 1.43316948794082
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27352795} λ = -0.27352795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43316948794082))-π/2
    2×atan(4.19196453969533)-π/2
    2×1.33662127709996-π/2
    2.67324255419992-1.57079632675     		φ = 1.10244623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27352795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.671997°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10244623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.165516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59830 KachelY 35639 -0.27352795 1.10244623 -15.671997 63.165516
    Oben rechts KachelX + 1 59831 KachelY 35639 -0.27348001 1.10244623 -15.669250 63.165516
    Unten links KachelX 59830 KachelY + 1 35640 -0.27352795 1.10242459 -15.671997 63.164276
    Unten rechts KachelX + 1 59831 KachelY + 1 35640 -0.27348001 1.10242459 -15.669250 63.164276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10244623-1.10242459) × R
    2.16399999999339e-05 × 6371000     		dl = 137.868439999579m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10244623-1.10242459) × R
    2.16399999999339e-05 × 6371000     		dr = 137.868439999579m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27352795--0.27348001) × cos(1.10244623) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.451414668251208 × 6371000     		do = 137.873659097549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27352795--0.27348001) × cos(1.10242459) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.451433977826808 × 6371000     		du = 137.879556738966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10244623)-sin(1.10242459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451414668251208-0.451433977826808)×R²
    abs(-0.27348001--0.27352795)×1.93095756000905e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.93095756000905e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.93095756000905e-05×40589641000000     		ar = 19008.832846895m²