Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5983 / 6943
↖ ↑ ↗
← N 26.450902°
W 48.537598°		 ← 2 187.51 m → N 26.450902°
W 48.515625°		 →
↑
2 187.61 m
↓
↑
2 187.61 m
↓
N 26.431228°
W 48.537598°		 ← 2 187.88 m →
4 785 822 m²		 N 26.431228°
W 48.515625°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365203857421875 y=0.423797607421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365203857421875 × 214)
    floor (0.365203857421875 × 16384)
    floor (5983.5)     		tx = 5983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423797607421875 × 214)
    floor (0.423797607421875 × 16384)
    floor (6943.5)     		ty = 6943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5983 / 6943 ti = "14/5983/6943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5983/6943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5983 ÷ 214
    5983 ÷ 16384     		x = 0.36517333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6943 ÷ 214
    6943 ÷ 16384     		y = 0.42376708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36517333984375 × 2 - 1) × π
    -0.2696533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.84714089
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42376708984375 × 2 - 1) × π
    0.1524658203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.478985501003601
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84714089} λ = -0.84714089}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.478985501003601))-π/2
    2×atan(1.61443572769113)-π/2
    2×1.01622583035441-π/2
    2.03245166070882-1.57079632675     		φ = 0.46165533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84714089} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.537598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46165533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.450902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5983 KachelY 6943 -0.84714089 0.46165533 -48.537598 26.450902
    Oben rechts KachelX + 1 5984 KachelY 6943 -0.84675739 0.46165533 -48.515625 26.450902
    Unten links KachelX 5983 KachelY + 1 6944 -0.84714089 0.46131196 -48.537598 26.431228
    Unten rechts KachelX + 1 5984 KachelY + 1 6944 -0.84675739 0.46131196 -48.515625 26.431228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46165533-0.46131196) × R
    0.000343369999999954 × 6371000     		dl = 2187.61026999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46165533-0.46131196) × R
    0.000343369999999954 × 6371000     		dr = 2187.61026999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84714089--0.84675739) × cos(0.46165533) × R
    0.000383499999999981 × 0.895316389596988 × 6371000     		do = 2187.50728539984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84714089--0.84675739) × cos(0.46131196) × R
    0.000383499999999981 × 0.895469284374037 × 6371000     		du = 2187.88084992136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46165533)-sin(0.46131196))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895316389596988-0.895469284374037)×R²
    abs(-0.84675739--0.84714089)×0.000152894777049162×R²
    0.000383499999999981×0.000152894777049162×6371000²
    0.000383499999999981×0.000152894777049162×40589641000000     		ar = 4785822.05705289m²