Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59829 / 59465
↖ ↑ ↗
← S 81.155086°
E148.650513°		 ← 93.92 m → S 81.155086°
E148.656006°		 →
↑
93.91 m
↓
↑
93.91 m
↓
S 81.155930°
E148.650513°		 ← 93.92 m →
8 820 m²		 S 81.155930°
E148.656006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59829 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912925720214844 y=0.907371520996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912925720214844 × 216)
    floor (0.912925720214844 × 65536)
    floor (59829.5)     		tx = 59829
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907371520996094 × 216)
    floor (0.907371520996094 × 65536)
    floor (59465.5)     		ty = 59465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59829 / 59465 ti = "16/59829/59465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59829/59465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59829 ÷ 216
    59829 ÷ 65536     		x = 0.912918090820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59465 ÷ 216
    59465 ÷ 65536     		y = 0.907363891601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912918090820312 × 2 - 1) × π
    0.825836181640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59444088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907363891601562 × 2 - 1) × π
    -0.814727783203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.55954281831328
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59444088} λ = 2.59444088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55954281831328))-π/2
    2×atan(0.0773400908350873)-π/2
    2×0.0771864389153953-π/2
    0.154372877830791-1.57079632675     		φ = -1.41642345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59444088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.650513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41642345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.155086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59829 KachelY 59465 2.59444088 -1.41642345 148.650513 -81.155086
    Oben rechts KachelX + 1 59830 KachelY 59465 2.59453676 -1.41642345 148.656006 -81.155086
    Unten links KachelX 59829 KachelY + 1 59466 2.59444088 -1.41643819 148.650513 -81.155930
    Unten rechts KachelX + 1 59830 KachelY + 1 59466 2.59453676 -1.41643819 148.656006 -81.155930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41642345--1.41643819) × R
    1.47400000001241e-05 × 6371000     		dl = 93.9085400007906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41642345--1.41643819) × R
    1.47400000001241e-05 × 6371000     		dr = 93.9085400007906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59444088-2.59453676) × cos(-1.41642345) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.153760464016326 × 6371000     		do = 93.9248070097977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59444088-2.59453676) × cos(-1.41643819) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.153745899285465 × 6371000     		du = 93.9159101223954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41642345)-sin(-1.41643819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153760464016326-0.153745899285465)×R²
    abs(2.59453676-2.59444088)×1.45647308610886e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.45647308610886e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.45647308610886e-05×40589641000000     		ar = 8819.92374944624m²