Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59829 / 35709
↖ ↑ ↗
← N 63.078597°
W 15.674744°		 ← 138.29 m → N 63.078597°
W 15.671997°		 →
↑
138.31 m
↓
↑
138.31 m
↓
N 63.077353°
W 15.674744°		 ← 138.29 m →
19 127 m²		 N 63.077353°
W 15.671997°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59829 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456462860107422 y=0.272441864013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456462860107422 × 217)
    floor (0.456462860107422 × 131072)
    floor (59829.5)     		tx = 59829
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272441864013672 × 217)
    floor (0.272441864013672 × 131072)
    floor (35709.5)     		ty = 35709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59829 / 35709 ti = "17/59829/35709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59829/35709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59829 ÷ 217
    59829 ÷ 131072     		x = 0.456459045410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35709 ÷ 217
    35709 ÷ 131072     		y = 0.272438049316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456459045410156 × 2 - 1) × π
    -0.0870819091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27357589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272438049316406 × 2 - 1) × π
    0.455123901367188 × 3.1415926535     		Φ = 1.42981390496741
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27357589} λ = -0.27357589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42981390496741))-π/2
    2×atan(4.17792162911349)-π/2
    2×1.33586276268062-π/2
    2.67172552536124-1.57079632675     		φ = 1.10092920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27357589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.674744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10092920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.078597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59829 KachelY 35709 -0.27357589 1.10092920 -15.674744 63.078597
    Oben rechts KachelX + 1 59830 KachelY 35709 -0.27352795 1.10092920 -15.671997 63.078597
    Unten links KachelX 59829 KachelY + 1 35710 -0.27357589 1.10090749 -15.674744 63.077353
    Unten rechts KachelX + 1 59830 KachelY + 1 35710 -0.27352795 1.10090749 -15.671997 63.077353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10092920-1.10090749) × R
    2.17099999999526e-05 × 6371000     		dl = 138.314409999698m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10092920-1.10090749) × R
    2.17099999999526e-05 × 6371000     		dr = 138.314409999698m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27357589--0.27352795) × cos(1.10092920) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.452767815845477 × 6371000     		do = 138.286945202698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27357589--0.27352795) × cos(1.10090749) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.452787172992572 × 6371000     		du = 138.292857373674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10092920)-sin(1.10090749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452767815845477-0.452787172992572)×R²
    abs(-0.27352795--0.27357589)×1.93571470948339e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.93571470948339e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.93571470948339e-05×40589641000000     		ar = 19127.486106175m²