Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59828 / 59464
↖ ↑ ↗
← S 81.154241°
E148.645020°		 ← 93.92 m → S 81.154241°
E148.650513°		 →
↑
93.91 m
↓
↑
93.91 m
↓
S 81.155086°
E148.645020°		 ← 93.92 m →
8 820 m²		 S 81.155086°
E148.650513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912910461425781 y=0.907356262207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912910461425781 × 216)
    floor (0.912910461425781 × 65536)
    floor (59828.5)     		tx = 59828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907356262207031 × 216)
    floor (0.907356262207031 × 65536)
    floor (59464.5)     		ty = 59464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59828 / 59464 ti = "16/59828/59464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59828/59464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59828 ÷ 216
    59828 ÷ 65536     		x = 0.91290283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59464 ÷ 216
    59464 ÷ 65536     		y = 0.9073486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91290283203125 × 2 - 1) × π
    0.8258056640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59434501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9073486328125 × 2 - 1) × π
    -0.814697265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.55944694451404
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59434501} λ = 2.59434501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55944694451404))-π/2
    2×atan(0.0773475060788874)-π/2
    2×0.0771938100645158-π/2
    0.154387620129032-1.57079632675     		φ = -1.41640871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59434501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.645020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41640871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.154241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59828 KachelY 59464 2.59434501 -1.41640871 148.645020 -81.154241
    Oben rechts KachelX + 1 59829 KachelY 59464 2.59444088 -1.41640871 148.650513 -81.154241
    Unten links KachelX 59828 KachelY + 1 59465 2.59434501 -1.41642345 148.645020 -81.155086
    Unten rechts KachelX + 1 59829 KachelY + 1 59465 2.59444088 -1.41642345 148.650513 -81.155086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41640871--1.41642345) × R
    1.47399999999021e-05 × 6371000     		dl = 93.908539999376m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41640871--1.41642345) × R
    1.47399999999021e-05 × 6371000     		dr = 93.908539999376m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59434501-2.59444088) × cos(-1.41640871) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.153775028713779 × 6371000     		do = 93.9239068697732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59434501-2.59444088) × cos(-1.41642345) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.153760464016326 × 6371000     		du = 93.9150109306947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41640871)-sin(-1.41642345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153775028713779-0.153760464016326)×R²
    abs(2.59444088-2.59434501)×1.45646974537283e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.45646974537283e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.45646974537283e-05×40589641000000     		ar = 8819.83926290351m²