Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59828 / 59061
↖ ↑ ↗
← S 80.807242°
E148.645020°		 ← 97.58 m → S 80.807242°
E148.650513°		 →
↑
97.60 m
↓
↑
97.60 m
↓
S 80.808120°
E148.645020°		 ← 97.57 m →
9 523 m²		 S 80.808120°
E148.650513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912910461425781 y=0.901206970214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912910461425781 × 216)
    floor (0.912910461425781 × 65536)
    floor (59828.5)     		tx = 59828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901206970214844 × 216)
    floor (0.901206970214844 × 65536)
    floor (59061.5)     		ty = 59061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59828 / 59061 ti = "16/59828/59061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59828/59061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59828 ÷ 216
    59828 ÷ 65536     		x = 0.91290283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59061 ÷ 216
    59061 ÷ 65536     		y = 0.901199340820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91290283203125 × 2 - 1) × π
    0.8258056640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59434501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901199340820312 × 2 - 1) × π
    -0.802398681640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.52080980342027
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59434501} λ = 2.59434501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52080980342027))-π/2
    2×atan(0.0803944766596369)-π/2
    2×0.0802219414654608-π/2
    0.160443882930922-1.57079632675     		φ = -1.41035244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59434501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.645020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41035244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.807242°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59828 KachelY 59061 2.59434501 -1.41035244 148.645020 -80.807242
    Oben rechts KachelX + 1 59829 KachelY 59061 2.59444088 -1.41035244 148.650513 -80.807242
    Unten links KachelX 59828 KachelY + 1 59062 2.59434501 -1.41036776 148.645020 -80.808120
    Unten rechts KachelX + 1 59829 KachelY + 1 59062 2.59444088 -1.41036776 148.650513 -80.808120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41035244--1.41036776) × R
    1.53199999999298e-05 × 6371000     		dl = 97.603719999553m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41035244--1.41036776) × R
    1.53199999999298e-05 × 6371000     		dr = 97.603719999553m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59434501-2.59444088) × cos(-1.41035244) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159756408058837 × 6371000     		do = 97.5772602214652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59434501-2.59444088) × cos(-1.41036776) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159741284803018 × 6371000     		du = 97.5680231217681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41035244)-sin(-1.41036776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159756408058837-0.159741284803018)×R²
    abs(2.59444088-2.59434501)×1.51232558193992e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.51232558193992e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.51232558193992e-05×40589641000000     		ar = 9523.45279748841m²