Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59827 / 85231
↖ ↑ ↗
← S 47.485657°
W 15.680237°		 ← 206.40 m → S 47.485657°
W 15.677490°		 →
↑
206.42 m
↓
↑
206.42 m
↓
S 47.487513°
W 15.680237°		 ← 206.39 m →
42 604 m²		 S 47.487513°
W 15.677490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456447601318359 y=0.650264739990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456447601318359 × 217)
    floor (0.456447601318359 × 131072)
    floor (59827.5)     		tx = 59827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650264739990234 × 217)
    floor (0.650264739990234 × 131072)
    floor (85231.5)     		ty = 85231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59827 / 85231 ti = "17/59827/85231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59827/85231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59827 ÷ 217
    59827 ÷ 131072     		x = 0.456443786621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85231 ÷ 217
    85231 ÷ 131072     		y = 0.650260925292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456443786621094 × 2 - 1) × π
    -0.0871124267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27367176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650260925292969 × 2 - 1) × π
    -0.300521850585938 × 3.1415926535     		Φ = -0.944117238017006
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27367176} λ = -0.27367176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.944117238017006))-π/2
    2×atan(0.389022833938)-π/2
    2×0.371007632598649-π/2
    0.742015265197299-1.57079632675     		φ = -0.82878106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27367176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.680237°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82878106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.485657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59827 KachelY 85231 -0.27367176 -0.82878106 -15.680237 -47.485657
    Oben rechts KachelX + 1 59828 KachelY 85231 -0.27362382 -0.82878106 -15.677490 -47.485657
    Unten links KachelX 59827 KachelY + 1 85232 -0.27367176 -0.82881346 -15.680237 -47.487513
    Unten rechts KachelX + 1 59828 KachelY + 1 85232 -0.27362382 -0.82881346 -15.677490 -47.487513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82878106--0.82881346) × R
    3.24000000000435e-05 × 6371000     		dl = 206.420400000277m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82878106--0.82881346) × R
    3.24000000000435e-05 × 6371000     		dr = 206.420400000277m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27367176--0.27362382) × cos(-0.82878106) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.675774752543913 × 6371000     		do = 206.399003868906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27367176--0.27362382) × cos(-0.82881346) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.675750869883859 × 6371000     		du = 206.391709489786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82878106)-sin(-0.82881346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675774752543913-0.675750869883859)×R²
    abs(-0.27362382--0.27367176)×2.388266005382e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.388266005382e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.388266005382e-05×40589641000000     		ar = 42604.2120877094m²