Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59827 / 85229
↖ ↑ ↗
← S 47.481945°
W 15.680237°		 ← 206.41 m → S 47.481945°
W 15.677490°		 →
↑
206.42 m
↓
↑
206.42 m
↓
S 47.483801°
W 15.680237°		 ← 206.41 m →
42 607 m²		 S 47.483801°
W 15.677490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456447601318359 y=0.650249481201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456447601318359 × 217)
    floor (0.456447601318359 × 131072)
    floor (59827.5)     		tx = 59827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650249481201172 × 217)
    floor (0.650249481201172 × 131072)
    floor (85229.5)     		ty = 85229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59827 / 85229 ti = "17/59827/85229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59827/85229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59827 ÷ 217
    59827 ÷ 131072     		x = 0.456443786621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85229 ÷ 217
    85229 ÷ 131072     		y = 0.650245666503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456443786621094 × 2 - 1) × π
    -0.0871124267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27367176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650245666503906 × 2 - 1) × π
    -0.300491333007812 × 3.1415926535     		Φ = -0.944021364217766
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27367176} λ = -0.27367176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.944021364217766))-π/2
    2×atan(0.389060132823045)-π/2
    2×0.371040028289727-π/2
    0.742080056579453-1.57079632675     		φ = -0.82871627
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27367176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.680237°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82871627 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.481945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59827 KachelY 85229 -0.27367176 -0.82871627 -15.680237 -47.481945
    Oben rechts KachelX + 1 59828 KachelY 85229 -0.27362382 -0.82871627 -15.677490 -47.481945
    Unten links KachelX 59827 KachelY + 1 85230 -0.27367176 -0.82874867 -15.680237 -47.483801
    Unten rechts KachelX + 1 59828 KachelY + 1 85230 -0.27362382 -0.82874867 -15.677490 -47.483801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82871627--0.82874867) × R
    3.23999999999325e-05 × 6371000     		dl = 206.42039999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82871627--0.82874867) × R
    3.23999999999325e-05 × 6371000     		dr = 206.42039999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27367176--0.27362382) × cos(-0.82871627) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.675822508365147 × 6371000     		do = 206.413589725946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27367176--0.27362382) × cos(-0.82874867) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.675798627123702 × 6371000     		du = 206.406295780105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82871627)-sin(-0.82874867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675822508365147-0.675798627123702)×R²
    abs(-0.27362382--0.27367176)×2.3881241445034e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3881241445034e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3881241445034e-05×40589641000000     		ar = 42607.222950701m²