Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59827 / 41557
↖ ↑ ↗
← N 54.843408°
W 15.680237°		 ← 175.87 m → N 54.843408°
W 15.677490°		 →
↑
175.84 m
↓
↑
175.84 m
↓
N 54.841827°
W 15.680237°		 ← 175.88 m →
30 925 m²		 N 54.841827°
W 15.677490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456447601318359 y=0.317058563232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456447601318359 × 217)
    floor (0.456447601318359 × 131072)
    floor (59827.5)     		tx = 59827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317058563232422 × 217)
    floor (0.317058563232422 × 131072)
    floor (41557.5)     		ty = 41557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59827 / 41557 ti = "17/59827/41557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59827/41557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59827 ÷ 217
    59827 ÷ 131072     		x = 0.456443786621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41557 ÷ 217
    41557 ÷ 131072     		y = 0.317054748535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456443786621094 × 2 - 1) × π
    -0.0871124267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27367176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317054748535156 × 2 - 1) × π
    0.365890502929688 × 3.1415926535     		Φ = 1.14947891598933
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27367176} λ = -0.27367176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14947891598933))-π/2
    2×atan(3.1565476545572)-π/2
    2×1.26399718858179-π/2
    2.52799437716359-1.57079632675     		φ = 0.95719805
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27367176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.680237°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95719805 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.843408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59827 KachelY 41557 -0.27367176 0.95719805 -15.680237 54.843408
    Oben rechts KachelX + 1 59828 KachelY 41557 -0.27362382 0.95719805 -15.677490 54.843408
    Unten links KachelX 59827 KachelY + 1 41558 -0.27367176 0.95717045 -15.680237 54.841827
    Unten rechts KachelX + 1 59828 KachelY + 1 41558 -0.27362382 0.95717045 -15.677490 54.841827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95719805-0.95717045) × R
    2.76000000000165e-05 × 6371000     		dl = 175.839600000105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95719805-0.95717045) × R
    2.76000000000165e-05 × 6371000     		dr = 175.839600000105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27367176--0.27362382) × cos(0.95719805) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.575813065554462 × 6371000     		do = 175.868131648525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27367176--0.27362382) × cos(0.95717045) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.575835630581241 × 6371000     		du = 175.875023588527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95719805)-sin(0.95717045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575813065554462-0.575835630581241)×R²
    abs(-0.27362382--0.27367176)×2.2565026779775e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.2565026779775e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.2565026779775e-05×40589641000000     		ar = 30925.1878616931m²