Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59827 / 38983
↖ ↑ ↗
← N 58.712615°
W 15.680237°		 ← 158.62 m → N 58.712615°
W 15.677490°		 →
↑
158.57 m
↓
↑
158.57 m
↓
N 58.711189°
W 15.680237°		 ← 158.62 m →
25 153 m²		 N 58.711189°
W 15.677490°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456447601318359 y=0.297420501708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456447601318359 × 217)
    floor (0.456447601318359 × 131072)
    floor (59827.5)     		tx = 59827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297420501708984 × 217)
    floor (0.297420501708984 × 131072)
    floor (38983.5)     		ty = 38983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59827 / 38983 ti = "17/59827/38983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59827/38983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59827 ÷ 217
    59827 ÷ 131072     		x = 0.456443786621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38983 ÷ 217
    38983 ÷ 131072     		y = 0.297416687011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456443786621094 × 2 - 1) × π
    -0.0871124267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27367176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297416687011719 × 2 - 1) × π
    0.405166625976562 × 3.1415926535     		Φ = 1.27286849561135
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27367176} λ = -0.27367176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27286849561135))-π/2
    2×atan(3.57108151614395)-π/2
    2×1.29776239041222-π/2
    2.59552478082445-1.57079632675     		φ = 1.02472845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27367176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.680237°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02472845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.712615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59827 KachelY 38983 -0.27367176 1.02472845 -15.680237 58.712615
    Oben rechts KachelX + 1 59828 KachelY 38983 -0.27362382 1.02472845 -15.677490 58.712615
    Unten links KachelX 59827 KachelY + 1 38984 -0.27367176 1.02470356 -15.680237 58.711189
    Unten rechts KachelX + 1 59828 KachelY + 1 38984 -0.27362382 1.02470356 -15.677490 58.711189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02472845-1.02470356) × R
    2.48899999999441e-05 × 6371000     		dl = 158.574189999644m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02472845-1.02470356) × R
    2.48899999999441e-05 × 6371000     		dr = 158.574189999644m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27367176--0.27362382) × cos(1.02472845) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.519330965329648 × 6371000     		do = 158.617044390618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27367176--0.27362382) × cos(1.02470356) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.519352235495645 × 6371000     		du = 158.623540846808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02472845)-sin(1.02470356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.519330965329648-0.519352235495645)×R²
    abs(-0.27362382--0.27367176)×2.1270165996734e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.1270165996734e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.1270165996734e-05×40589641000000     		ar = 25153.0844207769m²