Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59826 / 59825
↖ ↑ ↗
← S 81.454025°
E148.634033°		 ← 90.76 m → S 81.454025°
E148.639526°		 →
↑
90.72 m
↓
↑
90.72 m
↓
S 81.454841°
E148.634033°		 ← 90.76 m →
8 234 m²		 S 81.454841°
E148.639526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912879943847656 y=0.912864685058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912879943847656 × 216)
    floor (0.912879943847656 × 65536)
    floor (59826.5)     		tx = 59826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912864685058594 × 216)
    floor (0.912864685058594 × 65536)
    floor (59825.5)     		ty = 59825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59826 / 59825 ti = "16/59826/59825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59826/59825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59826 ÷ 216
    59826 ÷ 65536     		x = 0.912872314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59825 ÷ 216
    59825 ÷ 65536     		y = 0.912857055664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912872314453125 × 2 - 1) × π
    0.82574462890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59415326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912857055664062 × 2 - 1) × π
    -0.825714111328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.59405738603972
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59415326} λ = 2.59415326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59405738603972))-π/2
    2×atan(0.0747162714919401)-π/2
    2×0.0745777002855079-π/2
    0.149155400571016-1.57079632675     		φ = -1.42164093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59415326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.634033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42164093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.454025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59826 KachelY 59825 2.59415326 -1.42164093 148.634033 -81.454025
    Oben rechts KachelX + 1 59827 KachelY 59825 2.59424913 -1.42164093 148.639526 -81.454025
    Unten links KachelX 59826 KachelY + 1 59826 2.59415326 -1.42165517 148.634033 -81.454841
    Unten rechts KachelX + 1 59827 KachelY + 1 59826 2.59424913 -1.42165517 148.639526 -81.454841
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42164093--1.42165517) × R
    1.42400000000542e-05 × 6371000     		dl = 90.7230400003454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42164093--1.42165517) × R
    1.42400000000542e-05 × 6371000     		dr = 90.7230400003454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59415326-2.59424913) × cos(-1.42164093) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.148602960050166 × 6371000     		do = 90.7648705844379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59415326-2.59424913) × cos(-1.42165517) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.148588878142657 × 6371000     		du = 90.7562695275534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42164093)-sin(-1.42165517))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148602960050166-0.148588878142657)×R²
    abs(2.59424913-2.59415326)×1.40819075085674e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.40819075085674e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.40819075085674e-05×40589641000000     		ar = 8234.07482769205m²