Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59826 / 59059
↖ ↑ ↗
← S 80.805487°
E148.634033°		 ← 97.60 m → S 80.805487°
E148.639526°		 →
↑
97.60 m
↓
↑
97.60 m
↓
S 80.806365°
E148.634033°		 ← 97.59 m →
9 525 m²		 S 80.806365°
E148.639526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912879943847656 y=0.901176452636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912879943847656 × 216)
    floor (0.912879943847656 × 65536)
    floor (59826.5)     		tx = 59826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901176452636719 × 216)
    floor (0.901176452636719 × 65536)
    floor (59059.5)     		ty = 59059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59826 / 59059 ti = "16/59826/59059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59826/59059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59826 ÷ 216
    59826 ÷ 65536     		x = 0.912872314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59059 ÷ 216
    59059 ÷ 65536     		y = 0.901168823242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912872314453125 × 2 - 1) × π
    0.82574462890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59415326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901168823242188 × 2 - 1) × π
    -0.802337646484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.52061805582179
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59415326} λ = 2.59415326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52061805582179))-π/2
    2×atan(0.0804098935854995)-π/2
    2×0.0802372593685643-π/2
    0.160474518737129-1.57079632675     		φ = -1.41032181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59415326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.634033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41032181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.805487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59826 KachelY 59059 2.59415326 -1.41032181 148.634033 -80.805487
    Oben rechts KachelX + 1 59827 KachelY 59059 2.59424913 -1.41032181 148.639526 -80.805487
    Unten links KachelX 59826 KachelY + 1 59060 2.59415326 -1.41033713 148.634033 -80.806365
    Unten rechts KachelX + 1 59827 KachelY + 1 59060 2.59424913 -1.41033713 148.639526 -80.806365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41032181--1.41033713) × R
    1.53200000001519e-05 × 6371000     		dl = 97.6037200009676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41032181--1.41033713) × R
    1.53200000001519e-05 × 6371000     		dr = 97.6037200009676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59415326-2.59424913) × cos(-1.41032181) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159786644586472 × 6371000     		do = 97.5957283227514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59415326-2.59424913) × cos(-1.41033713) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159771521405621 × 6371000     		du = 97.5864912688446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41032181)-sin(-1.41033713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159786644586472-0.159771521405621)×R²
    abs(2.59424913-2.59415326)×1.51231808501184e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.51231808501184e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.51231808501184e-05×40589641000000     		ar = 9525.25535534002m²