Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59826 / 38984
↖ ↑ ↗
← N 58.711189°
W 15.682984°		 ← 158.62 m → N 58.711189°
W 15.680237°		 →
↑
158.64 m
↓
↑
158.64 m
↓
N 58.709763°
W 15.682984°		 ← 158.63 m →
25 164 m²		 N 58.709763°
W 15.680237°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456439971923828 y=0.297428131103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456439971923828 × 217)
    floor (0.456439971923828 × 131072)
    floor (59826.5)     		tx = 59826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297428131103516 × 217)
    floor (0.297428131103516 × 131072)
    floor (38984.5)     		ty = 38984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59826 / 38984 ti = "17/59826/38984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59826/38984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59826 ÷ 217
    59826 ÷ 131072     		x = 0.456436157226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38984 ÷ 217
    38984 ÷ 131072     		y = 0.29742431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456436157226562 × 2 - 1) × π
    -0.087127685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27371970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29742431640625 × 2 - 1) × π
    0.4051513671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.27282055871173
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27371970} λ = -0.27371970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27282055871173))-π/2
    2×atan(3.57091033367079)-π/2
    2×1.29774994259917-π/2
    2.59549988519833-1.57079632675     		φ = 1.02470356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27371970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.682984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02470356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.711189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59826 KachelY 38984 -0.27371970 1.02470356 -15.682984 58.711189
    Oben rechts KachelX + 1 59827 KachelY 38984 -0.27367176 1.02470356 -15.680237 58.711189
    Unten links KachelX 59826 KachelY + 1 38985 -0.27371970 1.02467866 -15.682984 58.709763
    Unten rechts KachelX + 1 59827 KachelY + 1 38985 -0.27367176 1.02467866 -15.680237 58.709763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02470356-1.02467866) × R
    2.49000000001054e-05 × 6371000     		dl = 158.637900000671m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02470356-1.02467866) × R
    2.49000000001054e-05 × 6371000     		dr = 158.637900000671m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27371970--0.27367176) × cos(1.02470356) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.519352235495645 × 6371000     		do = 158.623540846991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27371970--0.27367176) × cos(1.02467866) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.51937351388537 × 6371000     		du = 158.630039814919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02470356)-sin(1.02467866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.519352235495645-0.51937351388537)×R²
    abs(-0.27367176--0.27371970)×2.127838972521e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.127838972521e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.127838972521e-05×40589641000000     		ar = 25164.2209032415m²