Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59825 / 85230
↖ ↑ ↗
← S 47.483801°
W 15.685730°		 ← 206.36 m → S 47.483801°
W 15.682984°		 →
↑
206.36 m
↓
↑
206.36 m
↓
S 47.485657°
W 15.685730°		 ← 206.36 m →
42 584 m²		 S 47.485657°
W 15.682984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456432342529297 y=0.650257110595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456432342529297 × 217)
    floor (0.456432342529297 × 131072)
    floor (59825.5)     		tx = 59825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650257110595703 × 217)
    floor (0.650257110595703 × 131072)
    floor (85230.5)     		ty = 85230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59825 / 85230 ti = "17/59825/85230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59825/85230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59825 ÷ 217
    59825 ÷ 131072     		x = 0.456428527832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85230 ÷ 217
    85230 ÷ 131072     		y = 0.650253295898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456428527832031 × 2 - 1) × π
    -0.0871429443359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27376763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650253295898438 × 2 - 1) × π
    -0.300506591796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.944069301117386
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27376763} λ = -0.27376763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.944069301117386))-π/2
    2×atan(0.389041482933524)-π/2
    2×0.371023830158024-π/2
    0.742047660316047-1.57079632675     		φ = -0.82874867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27376763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.685730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82874867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.483801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59825 KachelY 85230 -0.27376763 -0.82874867 -15.685730 -47.483801
    Oben rechts KachelX + 1 59826 KachelY 85230 -0.27371970 -0.82874867 -15.682984 -47.483801
    Unten links KachelX 59825 KachelY + 1 85231 -0.27376763 -0.82878106 -15.685730 -47.485657
    Unten rechts KachelX + 1 59826 KachelY + 1 85231 -0.27371970 -0.82878106 -15.682984 -47.485657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82874867--0.82878106) × R
    3.23899999999933e-05 × 6371000     		dl = 206.356689999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82874867--0.82878106) × R
    3.23899999999933e-05 × 6371000     		dr = 206.356689999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27376763--0.27371970) × cos(-0.82874867) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.675798627123702 × 6371000     		do = 206.363240649594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27376763--0.27371970) × cos(-0.82878106) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.675774752543913 × 6371000     		du = 206.355950259444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82874867)-sin(-0.82878106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675798627123702-0.675774752543913)×R²
    abs(-0.27371970--0.27376763)×2.38745797894735e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38745797894735e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38745797894735e-05×40589641000000     		ar = 42583.6830713963m²