Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59825 / 59827
↖ ↑ ↗
← S 81.455658°
E148.628540°		 ← 90.75 m → S 81.455658°
E148.634033°		 →
↑
90.72 m
↓
↑
90.72 m
↓
S 81.456474°
E148.628540°		 ← 90.74 m →
8 233 m²		 S 81.456474°
E148.634033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912864685058594 y=0.912895202636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912864685058594 × 216)
    floor (0.912864685058594 × 65536)
    floor (59825.5)     		tx = 59825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912895202636719 × 216)
    floor (0.912895202636719 × 65536)
    floor (59827.5)     		ty = 59827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59825 / 59827 ti = "16/59825/59827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59825/59827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59825 ÷ 216
    59825 ÷ 65536     		x = 0.912857055664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59827 ÷ 216
    59827 ÷ 65536     		y = 0.912887573242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912857055664062 × 2 - 1) × π
    0.825714111328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59405739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912887573242188 × 2 - 1) × π
    -0.825775146484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.5942491336382
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59405739} λ = 2.59405739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5942491336382))-π/2
    2×atan(0.0747019461997782)-π/2
    2×0.0745634545054687-π/2
    0.149126909010937-1.57079632675     		φ = -1.42166942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59405739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.628540°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42166942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.455658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59825 KachelY 59827 2.59405739 -1.42166942 148.628540 -81.455658
    Oben rechts KachelX + 1 59826 KachelY 59827 2.59415326 -1.42166942 148.634033 -81.455658
    Unten links KachelX 59825 KachelY + 1 59828 2.59405739 -1.42168366 148.628540 -81.456474
    Unten rechts KachelX + 1 59826 KachelY + 1 59828 2.59415326 -1.42168366 148.634033 -81.456474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42166942--1.42168366) × R
    1.42400000000542e-05 × 6371000     		dl = 90.7230400003454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42166942--1.42168366) × R
    1.42400000000542e-05 × 6371000     		dr = 90.7230400003454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59405739-2.59415326) × cos(-1.42166942) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.148574786316007 × 6371000     		do = 90.7476624121781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59405739-2.59415326) × cos(-1.42168366) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.148560704348219 × 6371000     		du = 90.7390613184758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42166942)-sin(-1.42168366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148574786316007-0.148560704348219)×R²
    abs(2.59415326-2.59405739)×1.40819677878767e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.40819677878767e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.40819677878767e-05×40589641000000     		ar = 8232.51364829286m²