Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59825 / 59823
↖ ↑ ↗
← S 81.452392°
E148.628540°		 ← 90.78 m → S 81.452392°
E148.634033°		 →
↑
90.79 m
↓
↑
90.79 m
↓
S 81.453209°
E148.628540°		 ← 90.77 m →
8 241 m²		 S 81.453209°
E148.634033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912864685058594 y=0.912834167480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912864685058594 × 216)
    floor (0.912864685058594 × 65536)
    floor (59825.5)     		tx = 59825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912834167480469 × 216)
    floor (0.912834167480469 × 65536)
    floor (59823.5)     		ty = 59823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59825 / 59823 ti = "16/59825/59823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59825/59823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59825 ÷ 216
    59825 ÷ 65536     		x = 0.912857055664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59823 ÷ 216
    59823 ÷ 65536     		y = 0.912826538085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912857055664062 × 2 - 1) × π
    0.825714111328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59405739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912826538085938 × 2 - 1) × π
    -0.825653076171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.59386563844124
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59405739} λ = 2.59405739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59386563844124))-π/2
    2×atan(0.0747305995312057)-π/2
    2×0.0745919487670683-π/2
    0.149183897534137-1.57079632675     		φ = -1.42161243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59405739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.628540°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42161243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.452392°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59825 KachelY 59823 2.59405739 -1.42161243 148.628540 -81.452392
    Oben rechts KachelX + 1 59826 KachelY 59823 2.59415326 -1.42161243 148.634033 -81.452392
    Unten links KachelX 59825 KachelY + 1 59824 2.59405739 -1.42162668 148.628540 -81.453209
    Unten rechts KachelX + 1 59826 KachelY + 1 59824 2.59415326 -1.42162668 148.634033 -81.453209
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42161243--1.42162668) × R
    1.42499999999934e-05 × 6371000     		dl = 90.7867499999582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42161243--1.42162668) × R
    1.42499999999934e-05 × 6371000     		dr = 90.7867499999582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59405739-2.59415326) × cos(-1.42161243) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.148631143552634 × 6371000     		do = 90.7820847230613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59405739-2.59415326) × cos(-1.42162668) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.148617051816489 × 6371000     		du = 90.7734776629659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42161243)-sin(-1.42162668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148631143552634-0.148617051816489)×R²
    abs(2.59415326-2.59405739)×1.40917361448611e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.40917361448611e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.40917361448611e-05×40589641000000     		ar = 8241.41972668666m²