Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59824 / 59831
↖ ↑ ↗
← S 81.458921°
E148.623047°		 ← 90.72 m → S 81.458921°
E148.628540°		 →
↑
90.72 m
↓
↑
90.72 m
↓
S 81.459737°
E148.623047°		 ← 90.71 m →
8 230 m²		 S 81.459737°
E148.628540°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912849426269531 y=0.912956237792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912849426269531 × 216)
    floor (0.912849426269531 × 65536)
    floor (59824.5)     		tx = 59824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912956237792969 × 216)
    floor (0.912956237792969 × 65536)
    floor (59831.5)     		ty = 59831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59824 / 59831 ti = "16/59824/59831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59824/59831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59824 ÷ 216
    59824 ÷ 65536     		x = 0.912841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59831 ÷ 216
    59831 ÷ 65536     		y = 0.912948608398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912841796875 × 2 - 1) × π
    0.82568359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59396151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912948608398438 × 2 - 1) × π
    -0.825897216796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.59463262883516
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59396151} λ = 2.59396151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59463262883516))-π/2
    2×atan(0.0746733038546589)-π/2
    2×0.0745349710479513-π/2
    0.149069942095903-1.57079632675     		φ = -1.42172638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59396151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.623047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42172638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.458921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59824 KachelY 59831 2.59396151 -1.42172638 148.623047 -81.458921
    Oben rechts KachelX + 1 59825 KachelY 59831 2.59405739 -1.42172638 148.628540 -81.458921
    Unten links KachelX 59824 KachelY + 1 59832 2.59396151 -1.42174062 148.623047 -81.459737
    Unten rechts KachelX + 1 59825 KachelY + 1 59832 2.59405739 -1.42174062 148.628540 -81.459737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42172638--1.42174062) × R
    1.42400000000542e-05 × 6371000     		dl = 90.7230400003454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42172638--1.42174062) × R
    1.42400000000542e-05 × 6371000     		dr = 90.7230400003454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59396151-2.59405739) × cos(-1.42172638) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.148518458264118 × 6371000     		do = 90.7227200378952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59396151-2.59405739) × cos(-1.42174062) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.148504376175848 × 6371000     		du = 90.7141179734341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42172638)-sin(-1.42174062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148518458264118-0.148504376175848)×R²
    abs(2.59405739-2.59396151)×1.40820882698622e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.40820882698622e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.40820882698622e-05×40589641000000     		ar = 8230.25075643737m²