Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59824 / 59056
↖ ↑ ↗
← S 80.802854°
E148.623047°		 ← 97.63 m → S 80.802854°
E148.628540°		 →
↑
97.67 m
↓
↑
97.67 m
↓
S 80.803732°
E148.623047°		 ← 97.62 m →
9 535 m²		 S 80.803732°
E148.628540°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912849426269531 y=0.901130676269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912849426269531 × 216)
    floor (0.912849426269531 × 65536)
    floor (59824.5)     		tx = 59824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901130676269531 × 216)
    floor (0.901130676269531 × 65536)
    floor (59056.5)     		ty = 59056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59824 / 59056 ti = "16/59824/59056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59824/59056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59824 ÷ 216
    59824 ÷ 65536     		x = 0.912841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59056 ÷ 216
    59056 ÷ 65536     		y = 0.901123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912841796875 × 2 - 1) × π
    0.82568359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59396151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901123046875 × 2 - 1) × π
    -0.80224609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.52033043442407
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59396151} λ = 2.59396151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52033043442407))-π/2
    2×atan(0.0804330245177992)-π/2
    2×0.0802602416603381-π/2
    0.160520483320676-1.57079632675     		φ = -1.41027584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59396151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.623047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41027584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.802854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59824 KachelY 59056 2.59396151 -1.41027584 148.623047 -80.802854
    Oben rechts KachelX + 1 59825 KachelY 59056 2.59405739 -1.41027584 148.628540 -80.802854
    Unten links KachelX 59824 KachelY + 1 59057 2.59396151 -1.41029117 148.623047 -80.803732
    Unten rechts KachelX + 1 59825 KachelY + 1 59057 2.59405739 -1.41029117 148.628540 -80.803732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41027584--1.41029117) × R
    1.53300000000911e-05 × 6371000     		dl = 97.6674300005804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41027584--1.41029117) × R
    1.53300000000911e-05 × 6371000     		dr = 97.6674300005804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59396151-2.59405739) × cos(-1.41027584) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.159832023775436 × 6371000     		do = 97.633628274556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59396151-2.59405739) × cos(-1.41029117) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.159816890835661 × 6371000     		du = 97.6243842958979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41027584)-sin(-1.41029117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159832023775436-0.159816890835661)×R²
    abs(2.59405739-2.59396151)×1.5132939774759e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.5132939774759e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.5132939774759e-05×40589641000000     		ar = 9535.17413742689m²