Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59824 / 41511
↖ ↑ ↗
← N 54.916093°
W 15.688477°		 ← 175.55 m → N 54.916093°
W 15.685730°		 →
↑
175.52 m
↓
↑
175.52 m
↓
N 54.914514°
W 15.688477°		 ← 175.56 m →
30 814 m²		 N 54.914514°
W 15.685730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456424713134766 y=0.316707611083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456424713134766 × 217)
    floor (0.456424713134766 × 131072)
    floor (59824.5)     		tx = 59824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316707611083984 × 217)
    floor (0.316707611083984 × 131072)
    floor (41511.5)     		ty = 41511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59824 / 41511 ti = "17/59824/41511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59824/41511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59824 ÷ 217
    59824 ÷ 131072     		x = 0.4564208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41511 ÷ 217
    41511 ÷ 131072     		y = 0.316703796386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4564208984375 × 2 - 1) × π
    -0.087158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27381557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316703796386719 × 2 - 1) × π
    0.366592407226562 × 3.1415926535     		Φ = 1.15168401337185
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27381557} λ = -0.27381557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15168401337185))-π/2
    2×atan(3.16351582945666)-π/2
    2×1.26463147841752-π/2
    2.52926295683504-1.57079632675     		φ = 0.95846663
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27381557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.688477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95846663 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.916093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59824 KachelY 41511 -0.27381557 0.95846663 -15.688477 54.916093
    Oben rechts KachelX + 1 59825 KachelY 41511 -0.27376763 0.95846663 -15.685730 54.916093
    Unten links KachelX 59824 KachelY + 1 41512 -0.27381557 0.95843908 -15.688477 54.914514
    Unten rechts KachelX + 1 59825 KachelY + 1 41512 -0.27376763 0.95843908 -15.685730 54.914514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95846663-0.95843908) × R
    2.75499999999873e-05 × 6371000     		dl = 175.521049999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95846663-0.95843908) × R
    2.75499999999873e-05 × 6371000     		dr = 175.521049999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27381557--0.27376763) × cos(0.95846663) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.574775435118586 × 6371000     		do = 175.551212605004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27381557--0.27376763) × cos(0.95843908) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.574797979373664 × 6371000     		du = 175.558098200794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95846663)-sin(0.95843908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574775435118586-0.574797979373664)×R²
    abs(-0.27376763--0.27381557)×2.2544255077972e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.2544255077972e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.2544255077972e-05×40589641000000     		ar = 30813.5374507636m²