Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59823 / 59117
↖ ↑ ↗
← S 80.856257°
E148.617554°		 ← 97.06 m → S 80.856257°
E148.623047°		 →
↑
97.03 m
↓
↑
97.03 m
↓
S 80.857129°
E148.617554°		 ← 97.05 m →
9 417 m²		 S 80.857129°
E148.623047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912834167480469 y=0.902061462402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912834167480469 × 216)
    floor (0.912834167480469 × 65536)
    floor (59823.5)     		tx = 59823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902061462402344 × 216)
    floor (0.902061462402344 × 65536)
    floor (59117.5)     		ty = 59117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59823 / 59117 ti = "16/59823/59117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59823/59117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59823 ÷ 216
    59823 ÷ 65536     		x = 0.912826538085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59117 ÷ 216
    59117 ÷ 65536     		y = 0.902053833007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912826538085938 × 2 - 1) × π
    0.825653076171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59386564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902053833007812 × 2 - 1) × π
    -0.804107666015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.52617873617772
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59386564} λ = 2.59386564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52617873617772))-π/2
    2×atan(0.0799640007525349)-π/2
    2×0.0797942152924575-π/2
    0.159588430584915-1.57079632675     		φ = -1.41120790
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59386564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.617554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41120790 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.856257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59823 KachelY 59117 2.59386564 -1.41120790 148.617554 -80.856257
    Oben rechts KachelX + 1 59824 KachelY 59117 2.59396151 -1.41120790 148.623047 -80.856257
    Unten links KachelX 59823 KachelY + 1 59118 2.59386564 -1.41122313 148.617554 -80.857129
    Unten rechts KachelX + 1 59824 KachelY + 1 59118 2.59396151 -1.41122313 148.623047 -80.857129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41120790--1.41122313) × R
    1.52300000000327e-05 × 6371000     		dl = 97.0303300002084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41120790--1.41122313) × R
    1.52300000000327e-05 × 6371000     		dr = 97.0303300002084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59386564-2.59396151) × cos(-1.41120790) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158911876834878 × 6371000     		do = 97.0614308784877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59386564-2.59396151) × cos(-1.41122313) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.158896840347548 × 6371000     		du = 97.0522467759229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41120790)-sin(-1.41122313))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158911876834878-0.158896840347548)×R²
    abs(2.59396151-2.59386564)×1.50364873297559e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.50364873297559e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.50364873297559e-05×40589641000000     		ar = 9417.45710023314m²