Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59822 / 82337
↖ ↑ ↗
← S 41.838874°
W 15.693969°		 ← 227.50 m → S 41.838874°
W 15.691223°		 →
↑
227.51 m
↓
↑
227.51 m
↓
S 41.840920°
W 15.693969°		 ← 227.49 m →
51 758 m²		 S 41.840920°
W 15.691223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456409454345703 y=0.628185272216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456409454345703 × 217)
    floor (0.456409454345703 × 131072)
    floor (59822.5)     		tx = 59822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628185272216797 × 217)
    floor (0.628185272216797 × 131072)
    floor (82337.5)     		ty = 82337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59822 / 82337 ti = "17/59822/82337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59822/82337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59822 ÷ 217
    59822 ÷ 131072     		x = 0.456405639648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82337 ÷ 217
    82337 ÷ 131072     		y = 0.628181457519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456405639648438 × 2 - 1) × π
    -0.087188720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27391144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628181457519531 × 2 - 1) × π
    -0.256362915039062 × 3.1415926535     		Φ = -0.805387850516563
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27391144} λ = -0.27391144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.805387850516563))-π/2
    2×atan(0.446914556899021)-π/2
    2×0.420285108679925-π/2
    0.840570217359849-1.57079632675     		φ = -0.73022611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27391144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.693969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73022611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.838874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59822 KachelY 82337 -0.27391144 -0.73022611 -15.693969 -41.838874
    Oben rechts KachelX + 1 59823 KachelY 82337 -0.27386351 -0.73022611 -15.691223 -41.838874
    Unten links KachelX 59822 KachelY + 1 82338 -0.27391144 -0.73026182 -15.693969 -41.840920
    Unten rechts KachelX + 1 59823 KachelY + 1 82338 -0.27386351 -0.73026182 -15.691223 -41.840920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73022611--0.73026182) × R
    3.57099999999111e-05 × 6371000     		dl = 227.508409999434m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73022611--0.73026182) × R
    3.57099999999111e-05 × 6371000     		dr = 227.508409999434m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27391144--0.27386351) × cos(-0.73022611) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.745023597404191 × 6371000     		do = 227.501918101386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27391144--0.27386351) × cos(-0.73026182) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.744999776998283 × 6371000     		du = 227.494644253882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73022611)-sin(-0.73026182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.745023597404191-0.744999776998283)×R²
    abs(-0.27386351--0.27391144)×2.38204059079816e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38204059079816e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38204059079816e-05×40589641000000     		ar = 51757.7722337739m²