Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59822 / 59789
↖ ↑ ↗
← S 81.424588°
E148.612060°		 ← 91.08 m → S 81.424588°
E148.617554°		 →
↑
91.11 m
↓
↑
91.11 m
↓
S 81.425407°
E148.612060°		 ← 91.08 m →
8 298 m²		 S 81.425407°
E148.617554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59789 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912818908691406 y=0.912315368652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912818908691406 × 216)
    floor (0.912818908691406 × 65536)
    floor (59822.5)     		tx = 59822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912315368652344 × 216)
    floor (0.912315368652344 × 65536)
    floor (59789.5)     		ty = 59789
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59822 / 59789 ti = "16/59822/59789"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59822/59789.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59822 ÷ 216
    59822 ÷ 65536     		x = 0.912811279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59789 ÷ 216
    59789 ÷ 65536     		y = 0.912307739257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912811279296875 × 2 - 1) × π
    0.82562255859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59376976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912307739257812 × 2 - 1) × π
    -0.824615478515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.59060592926707
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59376976} λ = 2.59376976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59060592926707))-π/2
    2×atan(0.0749745970164552)-π/2
    2×0.074834586771881-π/2
    0.149669173543762-1.57079632675     		φ = -1.42112715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59376976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.612060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42112715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.424588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59822 KachelY 59789 2.59376976 -1.42112715 148.612060 -81.424588
    Oben rechts KachelX + 1 59823 KachelY 59789 2.59386564 -1.42112715 148.617554 -81.424588
    Unten links KachelX 59822 KachelY + 1 59790 2.59376976 -1.42114145 148.612060 -81.425407
    Unten rechts KachelX + 1 59823 KachelY + 1 59790 2.59386564 -1.42114145 148.617554 -81.425407
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42112715--1.42114145) × R
    1.42999999999116e-05 × 6371000     		dl = 91.1052999994368m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42112715--1.42114145) × R
    1.42999999999116e-05 × 6371000     		dr = 91.1052999994368m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59376976-2.59386564) × cos(-1.42112715) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.149111015884897 × 6371000     		do = 91.0846847379548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59376976-2.59386564) × cos(-1.42114145) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.149096875737053 × 6371000     		du = 91.076047207717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42112715)-sin(-1.42114145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149111015884897-0.149096875737053)×R²
    abs(2.59386564-2.59376976)×1.41401478437331e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.41401478437331e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.41401478437331e-05×40589641000000     		ar = 8297.90406602093m²