Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59821 / 59058
↖ ↑ ↗
← S 80.804610°
E148.606567°		 ← 97.60 m → S 80.804610°
E148.612060°		 →
↑
97.60 m
↓
↑
97.60 m
↓
S 80.805487°
E148.606567°		 ← 97.60 m →
9 526 m²		 S 80.805487°
E148.612060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912803649902344 y=0.901161193847656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912803649902344 × 216)
    floor (0.912803649902344 × 65536)
    floor (59821.5)     		tx = 59821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901161193847656 × 216)
    floor (0.901161193847656 × 65536)
    floor (59058.5)     		ty = 59058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59821 / 59058 ti = "16/59821/59058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59821/59058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59821 ÷ 216
    59821 ÷ 65536     		x = 0.912796020507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59058 ÷ 216
    59058 ÷ 65536     		y = 0.901153564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912796020507812 × 2 - 1) × π
    0.825592041015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59367389
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901153564453125 × 2 - 1) × π
    -0.80230712890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.52052218202255
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59367389} λ = 2.59367389}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52052218202255))-π/2
    2×atan(0.080417603157061)-π/2
    2×0.0802449194074729-π/2
    0.160489838814946-1.57079632675     		φ = -1.41030649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59367389} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.606567°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41030649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.804610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59821 KachelY 59058 2.59367389 -1.41030649 148.606567 -80.804610
    Oben rechts KachelX + 1 59822 KachelY 59058 2.59376976 -1.41030649 148.612060 -80.804610
    Unten links KachelX 59821 KachelY + 1 59059 2.59367389 -1.41032181 148.606567 -80.805487
    Unten rechts KachelX + 1 59822 KachelY + 1 59059 2.59376976 -1.41032181 148.612060 -80.805487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41030649--1.41032181) × R
    1.53199999999298e-05 × 6371000     		dl = 97.603719999553m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41030649--1.41032181) × R
    1.53199999999298e-05 × 6371000     		dr = 97.603719999553m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59367389-2.59376976) × cos(-1.41030649) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159801767729819 × 6371000     		do = 97.604965353752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59367389-2.59376976) × cos(-1.41032181) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159786644586472 × 6371000     		du = 97.5957283227514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41030649)-sin(-1.41032181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159801767729819-0.159786644586472)×R²
    abs(2.59376976-2.59367389)×1.51231433475896e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.51231433475896e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.51231433475896e-05×40589641000000     		ar = 9526.15692480216m²