Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59820 / 85220
↖ ↑ ↗
← S 47.465236°
W 15.699463°		 ← 206.48 m → S 47.465236°
W 15.696716°		 →
↑
206.48 m
↓
↑
206.48 m
↓
S 47.467093°
W 15.699463°		 ← 206.47 m →
42 634 m²		 S 47.467093°
W 15.696716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456394195556641 y=0.650180816650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456394195556641 × 217)
    floor (0.456394195556641 × 131072)
    floor (59820.5)     		tx = 59820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650180816650391 × 217)
    floor (0.650180816650391 × 131072)
    floor (85220.5)     		ty = 85220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59820 / 85220 ti = "17/59820/85220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59820/85220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59820 ÷ 217
    59820 ÷ 131072     		x = 0.456390380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85220 ÷ 217
    85220 ÷ 131072     		y = 0.650177001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456390380859375 × 2 - 1) × π
    -0.08721923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.27400732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650177001953125 × 2 - 1) × π
    -0.30035400390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.943589932121185
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27400732} λ = -0.27400732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.943589932121185))-π/2
    2×atan(0.389228022065644)-π/2
    2×0.371185837230377-π/2
    0.742371674460753-1.57079632675     		φ = -0.82842465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27400732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.699463°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82842465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.465236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59820 KachelY 85220 -0.27400732 -0.82842465 -15.699463 -47.465236
    Oben rechts KachelX + 1 59821 KachelY 85220 -0.27395938 -0.82842465 -15.696716 -47.465236
    Unten links KachelX 59820 KachelY + 1 85221 -0.27400732 -0.82845706 -15.699463 -47.467093
    Unten rechts KachelX + 1 59821 KachelY + 1 85221 -0.27395938 -0.82845706 -15.696716 -47.467093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82842465--0.82845706) × R
    3.24099999999827e-05 × 6371000     		dl = 206.48410999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82842465--0.82845706) × R
    3.24099999999827e-05 × 6371000     		dr = 206.48410999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27400732--0.27395938) × cos(-0.82842465) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.676037422347176 × 6371000     		do = 206.479229988182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27400732--0.27395938) × cos(-0.82845706) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.676013540123242 × 6371000     		du = 206.471935742265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82842465)-sin(-0.82845706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676037422347176-0.676013540123242)×R²
    abs(-0.27395938--0.27400732)×2.388222393368e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.388222393368e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.388222393368e-05×40589641000000     		ar = 42633.9269683336m²