Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59820 / 59272
↖ ↑ ↗
← S 80.990573°
E148.601074°		 ← 95.65 m → S 80.990573°
E148.606567°		 →
↑
95.63 m
↓
↑
95.63 m
↓
S 80.991433°
E148.601074°		 ← 95.64 m →
9 146 m²		 S 80.991433°
E148.606567°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912788391113281 y=0.904426574707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912788391113281 × 216)
    floor (0.912788391113281 × 65536)
    floor (59820.5)     		tx = 59820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904426574707031 × 216)
    floor (0.904426574707031 × 65536)
    floor (59272.5)     		ty = 59272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59820 / 59272 ti = "16/59820/59272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59820/59272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59820 ÷ 216
    59820 ÷ 65536     		x = 0.91278076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59272 ÷ 216
    59272 ÷ 65536     		y = 0.9044189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91278076171875 × 2 - 1) × π
    0.8255615234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.59357802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9044189453125 × 2 - 1) × π
    -0.808837890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.54103917505994
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59357802} λ = 2.59357802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54103917505994))-π/2
    2×atan(0.0787844863635122)-π/2
    2×0.0786220857690317-π/2
    0.157244171538063-1.57079632675     		φ = -1.41355216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59357802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.601074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41355216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.990573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59820 KachelY 59272 2.59357802 -1.41355216 148.601074 -80.990573
    Oben rechts KachelX + 1 59821 KachelY 59272 2.59367389 -1.41355216 148.606567 -80.990573
    Unten links KachelX 59820 KachelY + 1 59273 2.59357802 -1.41356717 148.601074 -80.991433
    Unten rechts KachelX + 1 59821 KachelY + 1 59273 2.59367389 -1.41356717 148.606567 -80.991433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41355216--1.41356717) × R
    1.50100000000375e-05 × 6371000     		dl = 95.6287100002389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41355216--1.41356717) × R
    1.50100000000375e-05 × 6371000     		dr = 95.6287100002389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59357802-2.59367389) × cos(-1.41355216) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.156596971349459 × 6371000     		do = 95.6475149192881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59357802-2.59367389) × cos(-1.41356717) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.156582146516367 × 6371000     		du = 95.638460092543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41355216)-sin(-1.41356717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156596971349459-0.156582146516367)×R²
    abs(2.59367389-2.59357802)×1.48248330923417e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.48248330923417e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.48248330923417e-05×40589641000000     		ar = 9146.21551599752m²