Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59819 / 58907
S 80.671108°
E148.595581°
← 99.02 m → S 80.671108°
E148.601074°

99.01 m

99.01 m
S 80.671998°
E148.595581°
← 99.01 m →
9 803 m²
S 80.671998°
E148.601074°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912773132324219 y=0.898857116699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912773132324219 × 216)
    floor (0.912773132324219 × 65536)
    floor (59819.5)
    tx = 59819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.898857116699219 × 216)
    floor (0.898857116699219 × 65536)
    floor (58907.5)
    ty = 58907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59819 / 58907 ti = "16/59819/58907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59819/58907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59819 ÷ 216
    59819 ÷ 65536
    x = 0.912765502929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58907 ÷ 216
    58907 ÷ 65536
    y = 0.898849487304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.912765502929688 × 2 - 1) × π
    0.825531005859375 × 3.1415926535
    Λ = 2.59348214
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.898849487304688 × 2 - 1) × π
    -0.797698974609375 × 3.1415926535
    Φ = -2.5060452383373
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59348214} λ = 2.59348214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5060452383373))-π/2
    2×atan(0.081590272119759)-π/2
    2×0.0814099437721045-π/2
    0.162819887544209-1.57079632675
    φ = -1.40797644
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59348214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.595581°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40797644 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.671108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59819 KachelY 58907 2.59348214 -1.40797644 148.595581 -80.671108
    Oben rechts KachelX + 1 59820 KachelY 58907 2.59357802 -1.40797644 148.601074 -80.671108
    Unten links KachelX 59819 KachelY + 1 58908 2.59348214 -1.40799198 148.595581 -80.671998
    Unten rechts KachelX + 1 59820 KachelY + 1 58908 2.59357802 -1.40799198 148.601074 -80.671998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-1.40797644--1.40799198) × R
    1.55399999999251e-05 × 6371000
    dl = 99.0053399995225m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-1.40797644--1.40799198) × R
    1.55399999999251e-05 × 6371000
    dr = 99.0053399995225m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(2.59348214-2.59357802) × cos(-1.40797644) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.162101438674982 × 6371000
    do = 99.0199037246771m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(2.59348214-2.59357802) × cos(-1.40799198) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.162086104185902 × 6371000
    du = 99.0105366293277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-1.40797644)-sin(-1.40799198))×
    abs(λ12)×abs(0.162101438674982-0.162086104185902)×
    abs(2.59357802-2.59348214)×1.53344890796714e-05×
    9.58799999999371e-05×1.53344890796714e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.53344890796714e-05×40589641000000
    ar = 9803.03553927477m²