Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59818 / 59790
↖ ↑ ↗
← S 81.425407°
E148.590088°		 ← 91.07 m → S 81.425407°
E148.595581°		 →
↑
91.04 m
↓
↑
91.04 m
↓
S 81.426226°
E148.590088°		 ← 91.06 m →
8 290 m²		 S 81.426226°
E148.595581°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912757873535156 y=0.912330627441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912757873535156 × 216)
    floor (0.912757873535156 × 65536)
    floor (59818.5)     		tx = 59818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912330627441406 × 216)
    floor (0.912330627441406 × 65536)
    floor (59790.5)     		ty = 59790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59818 / 59790 ti = "16/59818/59790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59818/59790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59818 ÷ 216
    59818 ÷ 65536     		x = 0.912750244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59790 ÷ 216
    59790 ÷ 65536     		y = 0.912322998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912750244140625 × 2 - 1) × π
    0.82550048828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59338627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912322998046875 × 2 - 1) × π
    -0.82464599609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.59070180306631
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59338627} λ = 2.59338627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59070180306631))-π/2
    2×atan(0.0749674092615569)-π/2
    2×0.0748274391910423-π/2
    0.149654878382085-1.57079632675     		φ = -1.42114145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59338627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.590088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42114145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.425407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59818 KachelY 59790 2.59338627 -1.42114145 148.590088 -81.425407
    Oben rechts KachelX + 1 59819 KachelY 59790 2.59348214 -1.42114145 148.595581 -81.425407
    Unten links KachelX 59818 KachelY + 1 59791 2.59338627 -1.42115574 148.590088 -81.426226
    Unten rechts KachelX + 1 59819 KachelY + 1 59791 2.59348214 -1.42115574 148.595581 -81.426226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42114145--1.42115574) × R
    1.42899999999724e-05 × 6371000     		dl = 91.041589999824m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42114145--1.42115574) × R
    1.42899999999724e-05 × 6371000     		dr = 91.041589999824m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59338627-2.59348214) × cos(-1.42114145) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.149096875737053 × 6371000     		do = 91.0665482453997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59338627-2.59348214) × cos(-1.42115574) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.149082745446968 × 6371000     		du = 91.057917637029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42114145)-sin(-1.42115574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149096875737053-0.149082745446968)×R²
    abs(2.59348214-2.59338627)×1.41302900853457e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.41302900853457e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.41302900853457e-05×40589641000000     		ar = 8290.4504759612m²