Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59818 / 38961
↖ ↑ ↗
← N 58.743982°
W 15.704956°		 ← 158.44 m → N 58.743982°
W 15.702210°		 →
↑
158.45 m
↓
↑
158.45 m
↓
N 58.742557°
W 15.704956°		 ← 158.45 m →
25 105 m²		 N 58.742557°
W 15.702210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456378936767578 y=0.297252655029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456378936767578 × 217)
    floor (0.456378936767578 × 131072)
    floor (59818.5)     		tx = 59818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297252655029297 × 217)
    floor (0.297252655029297 × 131072)
    floor (38961.5)     		ty = 38961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59818 / 38961 ti = "17/59818/38961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59818/38961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59818 ÷ 217
    59818 ÷ 131072     		x = 0.456375122070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38961 ÷ 217
    38961 ÷ 131072     		y = 0.297248840332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456375122070312 × 2 - 1) × π
    -0.087249755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27410319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297248840332031 × 2 - 1) × π
    0.405502319335938 × 3.1415926535     		Φ = 1.27392310740299
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27410319} λ = -0.27410319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27392310740299))-π/2
    2×atan(3.57484960740729)-π/2
    2×1.29803611331268-π/2
    2.59607222662536-1.57079632675     		φ = 1.02527590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27410319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.704956°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02527590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.743982°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59818 KachelY 38961 -0.27410319 1.02527590 -15.704956 58.743982
    Oben rechts KachelX + 1 59819 KachelY 38961 -0.27405526 1.02527590 -15.702210 58.743982
    Unten links KachelX 59818 KachelY + 1 38962 -0.27410319 1.02525103 -15.704956 58.742557
    Unten rechts KachelX + 1 59819 KachelY + 1 38962 -0.27405526 1.02525103 -15.702210 58.742557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02527590-1.02525103) × R
    2.48700000000657e-05 × 6371000     		dl = 158.446770000418m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02527590-1.02525103) × R
    2.48700000000657e-05 × 6371000     		dr = 158.446770000418m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27410319--0.27405526) × cos(1.02527590) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.518863051434372 × 6371000     		do = 158.441074677908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27410319--0.27405526) × cos(1.02525103) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.518884311576856 × 6371000     		du = 158.447566718175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02527590)-sin(1.02525103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.518863051434372-0.518884311576856)×R²
    abs(-0.27405526--0.27410319)×2.12601424842696e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.12601424842696e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.12601424842696e-05×40589641000000     		ar = 25104.9908407026m²