Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59818 / 38955
↖ ↑ ↗
← N 58.752532°
W 15.704956°		 ← 158.40 m → N 58.752532°
W 15.702210°		 →
↑
158.45 m
↓
↑
158.45 m
↓
N 58.751107°
W 15.704956°		 ← 158.41 m →
25 099 m²		 N 58.751107°
W 15.702210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59818 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456378936767578 y=0.297206878662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456378936767578 × 217)
    floor (0.456378936767578 × 131072)
    floor (59818.5)     		tx = 59818
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297206878662109 × 217)
    floor (0.297206878662109 × 131072)
    floor (38955.5)     		ty = 38955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59818 / 38955 ti = "17/59818/38955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59818/38955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59818 ÷ 217
    59818 ÷ 131072     		x = 0.456375122070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38955 ÷ 217
    38955 ÷ 131072     		y = 0.297203063964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456375122070312 × 2 - 1) × π
    -0.087249755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27410319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297203063964844 × 2 - 1) × π
    0.405593872070312 × 3.1415926535     		Φ = 1.27421072880071
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27410319} λ = -0.27410319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27421072880071))-π/2
    2×atan(3.57587795852881)-π/2
    2×1.29811072219785-π/2
    2.59622144439569-1.57079632675     		φ = 1.02542512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27410319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.704956°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02542512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.752532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59818 KachelY 38955 -0.27410319 1.02542512 -15.704956 58.752532
    Oben rechts KachelX + 1 59819 KachelY 38955 -0.27405526 1.02542512 -15.702210 58.752532
    Unten links KachelX 59818 KachelY + 1 38956 -0.27410319 1.02540025 -15.704956 58.751107
    Unten rechts KachelX + 1 59819 KachelY + 1 38956 -0.27405526 1.02540025 -15.702210 58.751107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02542512-1.02540025) × R
    2.48700000000657e-05 × 6371000     		dl = 158.446770000418m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02542512-1.02540025) × R
    2.48700000000657e-05 × 6371000     		dr = 158.446770000418m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27410319--0.27405526) × cos(1.02542512) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.51873548384049 × 6371000     		do = 158.402120378478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27410319--0.27405526) × cos(1.02540025) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.51875674590833 × 6371000     		du = 158.408613006675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02542512)-sin(1.02540025))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.51873548384049-0.51875674590833)×R²
    abs(-0.27405526--0.27410319)×2.12620678403663e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.12620678403663e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.12620678403663e-05×40589641000000     		ar = 25098.8187044206m²