Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59817 / 83305
↖ ↑ ↗
← S 43.788941°
W 15.707703°		 ← 220.48 m → S 43.788941°
W 15.704956°		 →
↑
220.44 m
↓
↑
220.44 m
↓
S 43.790924°
W 15.707703°		 ← 220.48 m →
48 602 m²		 S 43.790924°
W 15.704956°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456371307373047 y=0.635570526123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456371307373047 × 217)
    floor (0.456371307373047 × 131072)
    floor (59817.5)     		tx = 59817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635570526123047 × 217)
    floor (0.635570526123047 × 131072)
    floor (83305.5)     		ty = 83305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59817 / 83305 ti = "17/59817/83305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59817/83305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59817 ÷ 217
    59817 ÷ 131072     		x = 0.456367492675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83305 ÷ 217
    83305 ÷ 131072     		y = 0.635566711425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456367492675781 × 2 - 1) × π
    -0.0872650146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27415113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635566711425781 × 2 - 1) × π
    -0.271133422851562 × 3.1415926535     		Φ = -0.851790769348778
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27415113} λ = -0.27415113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.851790769348778))-π/2
    2×atan(0.426650215309303)-π/2
    2×0.403267563921471-π/2
    0.806535127842941-1.57079632675     		φ = -0.76426120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27415113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.707703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76426120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.788941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59817 KachelY 83305 -0.27415113 -0.76426120 -15.707703 -43.788941
    Oben rechts KachelX + 1 59818 KachelY 83305 -0.27410319 -0.76426120 -15.704956 -43.788941
    Unten links KachelX 59817 KachelY + 1 83306 -0.27415113 -0.76429580 -15.707703 -43.790924
    Unten rechts KachelX + 1 59818 KachelY + 1 83306 -0.27410319 -0.76429580 -15.704956 -43.790924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76426120--0.76429580) × R
    3.45999999999957e-05 × 6371000     		dl = 220.436599999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76426120--0.76429580) × R
    3.45999999999957e-05 × 6371000     		dr = 220.436599999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27415113--0.27410319) × cos(-0.76426120) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.721893806850188 × 6371000     		do = 220.484950158746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27415113--0.27410319) × cos(-0.76429580) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.721869863084791 × 6371000     		du = 220.477637116482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76426120)-sin(-0.76429580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.721893806850188-0.721869863084791)×R²
    abs(-0.27410319--0.27415113)×2.39437653968277e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39437653968277e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39437653968277e-05×40589641000000     		ar = 48602.1467377899m²