Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59817 / 82767
↖ ↑ ↗
← S 42.712714°
W 15.707703°		 ← 224.42 m → S 42.712714°
W 15.704956°		 →
↑
224.45 m
↓
↑
224.45 m
↓
S 42.714732°
W 15.707703°		 ← 224.41 m →
50 369 m²		 S 42.714732°
W 15.704956°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456371307373047 y=0.631465911865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456371307373047 × 217)
    floor (0.456371307373047 × 131072)
    floor (59817.5)     		tx = 59817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631465911865234 × 217)
    floor (0.631465911865234 × 131072)
    floor (82767.5)     		ty = 82767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59817 / 82767 ti = "17/59817/82767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59817/82767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59817 ÷ 217
    59817 ÷ 131072     		x = 0.456367492675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82767 ÷ 217
    82767 ÷ 131072     		y = 0.631462097167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456367492675781 × 2 - 1) × π
    -0.0872650146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27415113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631462097167969 × 2 - 1) × π
    -0.262924194335938 × 3.1415926535     		Φ = -0.826000717353188
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27415113} λ = -0.27415113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.826000717353188))-π/2
    2×atan(0.437796662462016)-π/2
    2×0.41265941640467-π/2
    0.825318832809339-1.57079632675     		φ = -0.74547749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27415113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.707703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74547749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.712714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59817 KachelY 82767 -0.27415113 -0.74547749 -15.707703 -42.712714
    Oben rechts KachelX + 1 59818 KachelY 82767 -0.27410319 -0.74547749 -15.704956 -42.712714
    Unten links KachelX 59817 KachelY + 1 82768 -0.27415113 -0.74551272 -15.707703 -42.714732
    Unten rechts KachelX + 1 59818 KachelY + 1 82768 -0.27410319 -0.74551272 -15.704956 -42.714732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74547749--0.74551272) × R
    3.52300000000527e-05 × 6371000     		dl = 224.450330000336m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74547749--0.74551272) × R
    3.52300000000527e-05 × 6371000     		dr = 224.450330000336m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27415113--0.27410319) × cos(-0.74547749) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.734764093835062 × 6371000     		do = 224.415867085116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27415113--0.27410319) × cos(-0.74551272) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.734740196069302 × 6371000     		du = 224.408568092324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74547749)-sin(-0.74551272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734764093835062-0.734740196069302)×R²
    abs(-0.27410319--0.27415113)×2.38977657600614e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38977657600614e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38977657600614e-05×40589641000000     		ar = 50369.3962990477m²