Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59817 / 59769
↖ ↑ ↗
← S 81.408191°
E148.584595°		 ← 91.25 m → S 81.408191°
E148.590088°		 →
↑
91.23 m
↓
↑
91.23 m
↓
S 81.409011°
E148.584595°		 ← 91.24 m →
8 324 m²		 S 81.409011°
E148.590088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912742614746094 y=0.912010192871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912742614746094 × 216)
    floor (0.912742614746094 × 65536)
    floor (59817.5)     		tx = 59817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912010192871094 × 216)
    floor (0.912010192871094 × 65536)
    floor (59769.5)     		ty = 59769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59817 / 59769 ti = "16/59817/59769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59817/59769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59817 ÷ 216
    59817 ÷ 65536     		x = 0.912734985351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59769 ÷ 216
    59769 ÷ 65536     		y = 0.912002563476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912734985351562 × 2 - 1) × π
    0.825469970703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59329040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912002563476562 × 2 - 1) × π
    -0.824005126953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.58868845328227
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59329040} λ = 2.59329040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58868845328227))-π/2
    2×atan(0.075118496923923)-π/2
    2×0.0749776807759357-π/2
    0.149955361551871-1.57079632675     		φ = -1.42084097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59329040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.584595°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42084097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.408191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59817 KachelY 59769 2.59329040 -1.42084097 148.584595 -81.408191
    Oben rechts KachelX + 1 59818 KachelY 59769 2.59338627 -1.42084097 148.590088 -81.408191
    Unten links KachelX 59817 KachelY + 1 59770 2.59329040 -1.42085529 148.584595 -81.409011
    Unten rechts KachelX + 1 59818 KachelY + 1 59770 2.59338627 -1.42085529 148.590088 -81.409011
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42084097--1.42085529) × R
    1.43200000000121e-05 × 6371000     		dl = 91.2327200000771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42084097--1.42085529) × R
    1.43200000000121e-05 × 6371000     		dr = 91.2327200000771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59329040-2.59338627) × cos(-1.42084097) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.149393990414665 × 6371000     		do = 91.2480222567726m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59329040-2.59338627) × cos(-1.42085529) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.149379831101992 × 6371000     		du = 91.2393739217601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42084097)-sin(-1.42085529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149393990414665-0.149379831101992)×R²
    abs(2.59338627-2.59329040)×1.41593126734008e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.41593126734008e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.41593126734008e-05×40589641000000     		ar = 8324.41075941003m²