Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59817 / 59063
↖ ↑ ↗
← S 80.808997°
E148.584595°		 ← 97.56 m → S 80.808997°
E148.590088°		 →
↑
97.60 m
↓
↑
97.60 m
↓
S 80.809875°
E148.584595°		 ← 97.55 m →
9 522 m²		 S 80.809875°
E148.590088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912742614746094 y=0.901237487792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912742614746094 × 216)
    floor (0.912742614746094 × 65536)
    floor (59817.5)     		tx = 59817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901237487792969 × 216)
    floor (0.901237487792969 × 65536)
    floor (59063.5)     		ty = 59063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59817 / 59063 ti = "16/59817/59063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59817/59063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59817 ÷ 216
    59817 ÷ 65536     		x = 0.912734985351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59063 ÷ 216
    59063 ÷ 65536     		y = 0.901229858398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912734985351562 × 2 - 1) × π
    0.825469970703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59329040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901229858398438 × 2 - 1) × π
    -0.802459716796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.52100155101875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59329040} λ = 2.59329040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52100155101875))-π/2
    2×atan(0.0803790626896494)-π/2
    2×0.0802066264615304-π/2
    0.160413252923061-1.57079632675     		φ = -1.41038307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59329040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.584595°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41038307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.808997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59817 KachelY 59063 2.59329040 -1.41038307 148.584595 -80.808997
    Oben rechts KachelX + 1 59818 KachelY 59063 2.59338627 -1.41038307 148.590088 -80.808997
    Unten links KachelX 59817 KachelY + 1 59064 2.59329040 -1.41039839 148.584595 -80.809875
    Unten rechts KachelX + 1 59818 KachelY + 1 59064 2.59338627 -1.41039839 148.590088 -80.809875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41038307--1.41039839) × R
    1.53199999999298e-05 × 6371000     		dl = 97.603719999553m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41038307--1.41039839) × R
    1.53199999999298e-05 × 6371000     		dr = 97.603719999553m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59329040-2.59338627) × cos(-1.41038307) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.15972617138132 × 6371000     		do = 97.5587920286324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59329040-2.59338627) × cos(-1.41039839) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159711048050546 × 6371000     		du = 97.5495548831536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41038307)-sin(-1.41039839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15972617138132-0.159711048050546)×R²
    abs(2.59338627-2.59329040)×1.51233307746912e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.51233307746912e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.51233307746912e-05×40589641000000     		ar = 9521.65023099632m²