Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59816 / 82346
↖ ↑ ↗
← S 41.857288°
W 15.710449°		 ← 227.48 m → S 41.857288°
W 15.707703°		 →
↑
227.44 m
↓
↑
227.44 m
↓
S 41.859333°
W 15.710449°		 ← 227.48 m →
51 739 m²		 S 41.859333°
W 15.707703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82346 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456363677978516 y=0.628253936767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456363677978516 × 217)
    floor (0.456363677978516 × 131072)
    floor (59816.5)     		tx = 59816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628253936767578 × 217)
    floor (0.628253936767578 × 131072)
    floor (82346.5)     		ty = 82346
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59816 / 82346 ti = "17/59816/82346"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59816/82346.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59816 ÷ 217
    59816 ÷ 131072     		x = 0.45635986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82346 ÷ 217
    82346 ÷ 131072     		y = 0.628250122070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45635986328125 × 2 - 1) × π
    -0.0872802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27419907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628250122070312 × 2 - 1) × π
    -0.256500244140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.805819282613144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27419907} λ = -0.27419907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.805819282613144))-π/2
    2×atan(0.446721785201684)-π/2
    2×0.420124418259281-π/2
    0.840248836518563-1.57079632675     		φ = -0.73054749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27419907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.710449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73054749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.857288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59816 KachelY 82346 -0.27419907 -0.73054749 -15.710449 -41.857288
    Oben rechts KachelX + 1 59817 KachelY 82346 -0.27415113 -0.73054749 -15.707703 -41.857288
    Unten links KachelX 59816 KachelY + 1 82347 -0.27419907 -0.73058319 -15.710449 -41.859333
    Unten rechts KachelX + 1 59817 KachelY + 1 82347 -0.27415113 -0.73058319 -15.707703 -41.859333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73054749--0.73058319) × R
    3.57000000000829e-05 × 6371000     		dl = 227.444700000528m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73054749--0.73058319) × R
    3.57000000000829e-05 × 6371000     		dr = 227.444700000528m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27419907--0.27415113) × cos(-0.73054749) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.744809186225382 × 6371000     		do = 227.483896861536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27419907--0.27415113) × cos(-0.73058319) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.744785363943634 × 6371000     		du = 227.476620923505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73054749)-sin(-0.73058319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744809186225382-0.744785363943634)×R²
    abs(-0.27415113--0.27419907)×2.38222817482425e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38222817482425e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38222817482425e-05×40589641000000     		ar = 51739.1792454884m²