Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59816 / 59273
↖ ↑ ↗
← S 80.991433°
E148.579101°		 ← 95.65 m → S 80.991433°
E148.584595°		 →
↑
95.63 m
↓
↑
95.63 m
↓
S 80.992293°
E148.579101°		 ← 95.64 m →
9 146 m²		 S 80.992293°
E148.584595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912727355957031 y=0.904441833496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912727355957031 × 216)
    floor (0.912727355957031 × 65536)
    floor (59816.5)     		tx = 59816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904441833496094 × 216)
    floor (0.904441833496094 × 65536)
    floor (59273.5)     		ty = 59273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59816 / 59273 ti = "16/59816/59273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59816/59273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59816 ÷ 216
    59816 ÷ 65536     		x = 0.9127197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59273 ÷ 216
    59273 ÷ 65536     		y = 0.904434204101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9127197265625 × 2 - 1) × π
    0.825439453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59319452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904434204101562 × 2 - 1) × π
    -0.808868408203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.54113504885918
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59319452} λ = 2.59319452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54113504885918))-π/2
    2×atan(0.0787769333575568)-π/2
    2×0.0786145793509116-π/2
    0.157229158701823-1.57079632675     		φ = -1.41356717
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59319452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.579101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41356717 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.991433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59816 KachelY 59273 2.59319452 -1.41356717 148.579101 -80.991433
    Oben rechts KachelX + 1 59817 KachelY 59273 2.59329040 -1.41356717 148.584595 -80.991433
    Unten links KachelX 59816 KachelY + 1 59274 2.59319452 -1.41358218 148.579101 -80.992293
    Unten rechts KachelX + 1 59817 KachelY + 1 59274 2.59329040 -1.41358218 148.584595 -80.992293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41356717--1.41358218) × R
    1.50099999998154e-05 × 6371000     		dl = 95.6287099988242m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41356717--1.41358218) × R
    1.50099999998154e-05 × 6371000     		dr = 95.6287099988242m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59319452-2.59329040) × cos(-1.41356717) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.156582146516367 × 6371000     		do = 95.6484359410369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59319452-2.59329040) × cos(-1.41358218) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.156567321647997 × 6371000     		du = 95.6393801482522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41356717)-sin(-1.41358218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156582146516367-0.156567321647997)×R²
    abs(2.59329040-2.59319452)×1.48248683700669e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.48248683700669e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.48248683700669e-05×40589641000000     		ar = 9146.30354595927m²