Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59816 / 59048
↖ ↑ ↗
← S 80.795827°
E148.579101°		 ← 97.71 m → S 80.795827°
E148.584595°		 →
↑
97.67 m
↓
↑
97.67 m
↓
S 80.796706°
E148.579101°		 ← 97.70 m →
9 542 m²		 S 80.796706°
E148.584595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912727355957031 y=0.901008605957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912727355957031 × 216)
    floor (0.912727355957031 × 65536)
    floor (59816.5)     		tx = 59816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901008605957031 × 216)
    floor (0.901008605957031 × 65536)
    floor (59048.5)     		ty = 59048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59816 / 59048 ti = "16/59816/59048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59816/59048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59816 ÷ 216
    59816 ÷ 65536     		x = 0.9127197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59048 ÷ 216
    59048 ÷ 65536     		y = 0.9010009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9127197265625 × 2 - 1) × π
    0.825439453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59319452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9010009765625 × 2 - 1) × π
    -0.802001953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.51956344403015
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59319452} λ = 2.59319452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51956344403015))-π/2
    2×atan(0.0804947395393472)-π/2
    2×0.0803215596822397-π/2
    0.160643119364479-1.57079632675     		φ = -1.41015321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59319452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.579101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41015321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.795827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59816 KachelY 59048 2.59319452 -1.41015321 148.579101 -80.795827
    Oben rechts KachelX + 1 59817 KachelY 59048 2.59329040 -1.41015321 148.584595 -80.795827
    Unten links KachelX 59816 KachelY + 1 59049 2.59319452 -1.41016854 148.579101 -80.796706
    Unten rechts KachelX + 1 59817 KachelY + 1 59049 2.59329040 -1.41016854 148.584595 -80.796706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41015321--1.41016854) × R
    1.53299999998691e-05 × 6371000     		dl = 97.6674299991658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41015321--1.41016854) × R
    1.53299999998691e-05 × 6371000     		dr = 97.6674299991658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59319452-2.59329040) × cos(-1.41015321) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.159953076069858 × 6371000     		do = 97.7075732477612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59319452-2.59329040) × cos(-1.41016854) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.159937943430654 × 6371000     		du = 97.6983294527072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41015321)-sin(-1.41016854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159953076069858-0.159937943430654)×R²
    abs(2.59329040-2.59319452)×1.51326392038853e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.51326392038853e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.51326392038853e-05×40589641000000     		ar = 9542.39616201783m²