Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59815 / 82766
↖ ↑ ↗
← S 42.710696°
W 15.713196°		 ← 224.38 m → S 42.710696°
W 15.710449°		 →
↑
224.39 m
↓
↑
224.39 m
↓
S 42.712714°
W 15.713196°		 ← 224.37 m →
50 346 m²		 S 42.712714°
W 15.710449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456356048583984 y=0.631458282470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456356048583984 × 217)
    floor (0.456356048583984 × 131072)
    floor (59815.5)     		tx = 59815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631458282470703 × 217)
    floor (0.631458282470703 × 131072)
    floor (82766.5)     		ty = 82766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59815 / 82766 ti = "17/59815/82766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59815/82766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59815 ÷ 217
    59815 ÷ 131072     		x = 0.456352233886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82766 ÷ 217
    82766 ÷ 131072     		y = 0.631454467773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456352233886719 × 2 - 1) × π
    -0.0872955322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27424700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631454467773438 × 2 - 1) × π
    -0.262908935546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.825952780453568
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27424700} λ = -0.27424700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.825952780453568))-π/2
    2×atan(0.437817649579703)-π/2
    2×0.412677027847238-π/2
    0.825354055694475-1.57079632675     		φ = -0.74544227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27424700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.713196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74544227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.710696°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59815 KachelY 82766 -0.27424700 -0.74544227 -15.713196 -42.710696
    Oben rechts KachelX + 1 59816 KachelY 82766 -0.27419907 -0.74544227 -15.710449 -42.710696
    Unten links KachelX 59815 KachelY + 1 82767 -0.27424700 -0.74547749 -15.713196 -42.712714
    Unten rechts KachelX + 1 59816 KachelY + 1 82767 -0.27419907 -0.74547749 -15.710449 -42.712714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74544227--0.74547749) × R
    3.52200000000025e-05 × 6371000     		dl = 224.386620000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74544227--0.74547749) × R
    3.52200000000025e-05 × 6371000     		dr = 224.386620000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27424700--0.27419907) × cos(-0.74544227) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.734787983905899 × 6371000     		do = 224.37635038525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27424700--0.27419907) × cos(-0.74547749) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.734764093835062 × 6371000     		du = 224.369055264722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74544227)-sin(-0.74547749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734787983905899-0.734764093835062)×R²
    abs(-0.27419907--0.27424700)×2.38900708370293e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38900708370293e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38900708370293e-05×40589641000000     		ar = 50346.2324123926m²