Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59815 / 82340
↖ ↑ ↗
← S 41.845013°
W 15.713196°		 ← 227.48 m → S 41.845013°
W 15.710449°		 →
↑
227.51 m
↓
↑
227.51 m
↓
S 41.847059°
W 15.713196°		 ← 227.47 m →
51 753 m²		 S 41.847059°
W 15.710449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456356048583984 y=0.628208160400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456356048583984 × 217)
    floor (0.456356048583984 × 131072)
    floor (59815.5)     		tx = 59815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628208160400391 × 217)
    floor (0.628208160400391 × 131072)
    floor (82340.5)     		ty = 82340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59815 / 82340 ti = "17/59815/82340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59815/82340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59815 ÷ 217
    59815 ÷ 131072     		x = 0.456352233886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82340 ÷ 217
    82340 ÷ 131072     		y = 0.628204345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456352233886719 × 2 - 1) × π
    -0.0872955322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27424700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628204345703125 × 2 - 1) × π
    -0.25640869140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.805531661215424
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27424700} λ = -0.27424700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.805531661215424))-π/2
    2×atan(0.446850290425476)-π/2
    2×0.42023154006728-π/2
    0.84046308013456-1.57079632675     		φ = -0.73033325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27424700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.713196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73033325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.845013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59815 KachelY 82340 -0.27424700 -0.73033325 -15.713196 -41.845013
    Oben rechts KachelX + 1 59816 KachelY 82340 -0.27419907 -0.73033325 -15.710449 -41.845013
    Unten links KachelX 59815 KachelY + 1 82341 -0.27424700 -0.73036896 -15.713196 -41.847059
    Unten rechts KachelX + 1 59816 KachelY + 1 82341 -0.27419907 -0.73036896 -15.710449 -41.847059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73033325--0.73036896) × R
    3.57099999999111e-05 × 6371000     		dl = 227.508409999434m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73033325--0.73036896) × R
    3.57099999999111e-05 × 6371000     		dr = 227.508409999434m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27424700--0.27419907) × cos(-0.73033325) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.744952126665238 × 6371000     		do = 227.480093651453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27424700--0.27419907) × cos(-0.73036896) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.744928303409075 × 6371000     		du = 227.47281893359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73033325)-sin(-0.73036896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744952126665238-0.744928303409075)×R²
    abs(-0.27419907--0.27424700)×2.38232561631246e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38232561631246e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38232561631246e-05×40589641000000     		ar = 51752.8068889204m²