Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59815 / 59082
↖ ↑ ↗
← S 80.825653°
E148.573609°		 ← 97.38 m → S 80.825653°
E148.579101°		 →
↑
97.41 m
↓
↑
97.41 m
↓
S 80.826529°
E148.573609°		 ← 97.37 m →
9 486 m²		 S 80.826529°
E148.579101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912712097167969 y=0.901527404785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912712097167969 × 216)
    floor (0.912712097167969 × 65536)
    floor (59815.5)     		tx = 59815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901527404785156 × 216)
    floor (0.901527404785156 × 65536)
    floor (59082.5)     		ty = 59082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59815 / 59082 ti = "16/59815/59082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59815/59082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59815 ÷ 216
    59815 ÷ 65536     		x = 0.912704467773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59082 ÷ 216
    59082 ÷ 65536     		y = 0.901519775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912704467773438 × 2 - 1) × π
    0.825408935546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59309865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901519775390625 × 2 - 1) × π
    -0.80303955078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.52282315320432
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59309865} λ = 2.59309865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52282315320432))-π/2
    2×atan(0.0802327772907325)-π/2
    2×0.0800612784183248-π/2
    0.16012255683665-1.57079632675     		φ = -1.41067377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59309865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.573609°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41067377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.825653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59815 KachelY 59082 2.59309865 -1.41067377 148.573609 -80.825653
    Oben rechts KachelX + 1 59816 KachelY 59082 2.59319452 -1.41067377 148.579101 -80.825653
    Unten links KachelX 59815 KachelY + 1 59083 2.59309865 -1.41068906 148.573609 -80.826529
    Unten rechts KachelX + 1 59816 KachelY + 1 59083 2.59319452 -1.41068906 148.579101 -80.826529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41067377--1.41068906) × R
    1.52899999998901e-05 × 6371000     		dl = 97.4125899992999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41067377--1.41068906) × R
    1.52899999998901e-05 × 6371000     		dr = 97.4125899992999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59309865-2.59319452) × cos(-1.41067377) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159439196829135 × 6371000     		do = 97.3835114818563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59309865-2.59319452) × cos(-1.41068906) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159424102403994 × 6371000     		du = 97.3742919915852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41067377)-sin(-1.41068906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159439196829135-0.159424102403994)×R²
    abs(2.59319452-2.59309865)×1.50944251405827e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.50944251405827e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.50944251405827e-05×40589641000000     		ar = 9485.93102976571m²