Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59814 / 59853
↖ ↑ ↗
← S 81.476851°
E148.568115°		 ← 90.53 m → S 81.476851°
E148.573609°		 →
↑
90.53 m
↓
↑
90.53 m
↓
S 81.477666°
E148.568115°		 ← 90.53 m →
8 196 m²		 S 81.477666°
E148.573609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912696838378906 y=0.913291931152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912696838378906 × 216)
    floor (0.912696838378906 × 65536)
    floor (59814.5)     		tx = 59814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.913291931152344 × 216)
    floor (0.913291931152344 × 65536)
    floor (59853.5)     		ty = 59853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59814 / 59853 ti = "16/59814/59853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59814/59853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59814 ÷ 216
    59814 ÷ 65536     		x = 0.912689208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59853 ÷ 216
    59853 ÷ 65536     		y = 0.913284301757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912689208984375 × 2 - 1) × π
    0.82537841796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59300277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.913284301757812 × 2 - 1) × π
    -0.826568603515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.59674185241844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59300277} λ = 2.59300277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59674185241844))-π/2
    2×atan(0.0745159671486028)-π/2
    2×0.0743785049757091-π/2
    0.148757009951418-1.57079632675     		φ = -1.42203932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59300277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.568115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42203932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.476851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59814 KachelY 59853 2.59300277 -1.42203932 148.568115 -81.476851
    Oben rechts KachelX + 1 59815 KachelY 59853 2.59309865 -1.42203932 148.573609 -81.476851
    Unten links KachelX 59814 KachelY + 1 59854 2.59300277 -1.42205353 148.568115 -81.477666
    Unten rechts KachelX + 1 59815 KachelY + 1 59854 2.59309865 -1.42205353 148.573609 -81.477666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42203932--1.42205353) × R
    1.42099999997924e-05 × 6371000     		dl = 90.5319099986777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42203932--1.42205353) × R
    1.42099999997924e-05 × 6371000     		dr = 90.5319099986777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59300277-2.59309865) × cos(-1.42203932) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.148208981615464 × 6371000     		do = 90.5336757690393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59300277-2.59309865) × cos(-1.42205353) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.148194928534822 × 6371000     		du = 90.5250914239311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42203932)-sin(-1.42205353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148208981615464-0.148194928534822)×R²
    abs(2.59309865-2.59300277)×1.4053080641202e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.4053080641202e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.4053080641202e-05×40589641000000     		ar = 8195.79800832435m²