Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59814 / 59081
↖ ↑ ↗
← S 80.824777°
E148.568115°		 ← 97.40 m → S 80.824777°
E148.573609°		 →
↑
97.41 m
↓
↑
97.41 m
↓
S 80.825653°
E148.568115°		 ← 97.39 m →
9 488 m²		 S 80.825653°
E148.573609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912696838378906 y=0.901512145996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912696838378906 × 216)
    floor (0.912696838378906 × 65536)
    floor (59814.5)     		tx = 59814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901512145996094 × 216)
    floor (0.901512145996094 × 65536)
    floor (59081.5)     		ty = 59081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59814 / 59081 ti = "16/59814/59081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59814/59081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59814 ÷ 216
    59814 ÷ 65536     		x = 0.912689208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59081 ÷ 216
    59081 ÷ 65536     		y = 0.901504516601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912689208984375 × 2 - 1) × π
    0.82537841796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59300277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901504516601562 × 2 - 1) × π
    -0.803009033203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.52272727940508
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59300277} λ = 2.59300277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52272727940508))-π/2
    2×atan(0.0802404698806679)-π/2
    2×0.0800689218008076-π/2
    0.160137843601615-1.57079632675     		φ = -1.41065848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59300277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.568115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41065848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.824777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59814 KachelY 59081 2.59300277 -1.41065848 148.568115 -80.824777
    Oben rechts KachelX + 1 59815 KachelY 59081 2.59309865 -1.41065848 148.573609 -80.824777
    Unten links KachelX 59814 KachelY + 1 59082 2.59300277 -1.41067377 148.568115 -80.825653
    Unten rechts KachelX + 1 59815 KachelY + 1 59082 2.59309865 -1.41067377 148.573609 -80.825653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41065848--1.41067377) × R
    1.52900000001122e-05 × 6371000     		dl = 97.4125900007146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41065848--1.41067377) × R
    1.52900000001122e-05 × 6371000     		dr = 97.4125900007146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59300277-2.59309865) × cos(-1.41065848) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.159454291217001 × 6371000     		do = 97.4028897821924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59300277-2.59309865) × cos(-1.41067377) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.159439196829135 × 6371000     		du = 97.3936693530245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41065848)-sin(-1.41067377))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159454291217001-0.159439196829135)×R²
    abs(2.59309865-2.59300277)×1.50943878664545e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.50943878664545e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.50943878664545e-05×40589641000000     		ar = 9487.81867410681m²