Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59814 / 58912
↖ ↑ ↗
← S 80.675559°
E148.568115°		 ← 98.97 m → S 80.675559°
E148.573609°		 →
↑
98.94 m
↓
↑
98.94 m
↓
S 80.676449°
E148.568115°		 ← 98.96 m →
9 792 m²		 S 80.676449°
E148.573609°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912696838378906 y=0.898933410644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912696838378906 × 216)
    floor (0.912696838378906 × 65536)
    floor (59814.5)     		tx = 59814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.898933410644531 × 216)
    floor (0.898933410644531 × 65536)
    floor (58912.5)     		ty = 58912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59814 / 58912 ti = "16/59814/58912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59814/58912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59814 ÷ 216
    59814 ÷ 65536     		x = 0.912689208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58912 ÷ 216
    58912 ÷ 65536     		y = 0.89892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912689208984375 × 2 - 1) × π
    0.82537841796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.59300277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89892578125 × 2 - 1) × π
    -0.7978515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.5065246073335
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59300277} λ = 2.59300277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5065246073335))-π/2
    2×atan(0.0815511696459188)-π/2
    2×0.0813710997578913-π/2
    0.162742199515783-1.57079632675     		φ = -1.40805413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59300277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.568115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40805413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.675559°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59814 KachelY 58912 2.59300277 -1.40805413 148.568115 -80.675559
    Oben rechts KachelX + 1 59815 KachelY 58912 2.59309865 -1.40805413 148.573609 -80.675559
    Unten links KachelX 59814 KachelY + 1 58913 2.59300277 -1.40806966 148.568115 -80.676449
    Unten rechts KachelX + 1 59815 KachelY + 1 58913 2.59309865 -1.40806966 148.573609 -80.676449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40805413--1.40806966) × R
    1.55299999999858e-05 × 6371000     		dl = 98.9416299999097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40805413--1.40806966) × R
    1.55299999999858e-05 × 6371000     		dr = 98.9416299999097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59300277-2.59309865) × cos(-1.40805413) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.162024775706063 × 6371000     		do = 98.9730740366517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59300277-2.59309865) × cos(-1.40806966) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.162009450889225 × 6371000     		du = 98.9637128496057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40805413)-sin(-1.40806966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162024775706063-0.162009450889225)×R²
    abs(2.59309865-2.59300277)×1.53248168376086e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.53248168376086e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.53248168376086e-05×40589641000000     		ar = 9792.09416575016m²