Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59814 / 27555
↖ ↑ ↗
← N 71.605682°
W 15.715942°		 ← 96.38 m → N 71.605682°
W 15.713196°		 →
↑
96.33 m
↓
↑
96.33 m
↓
N 71.604816°
W 15.715942°		 ← 96.38 m →
9 284 m²		 N 71.604816°
W 15.713196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456348419189453 y=0.210231781005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456348419189453 × 217)
    floor (0.456348419189453 × 131072)
    floor (59814.5)     		tx = 59814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210231781005859 × 217)
    floor (0.210231781005859 × 131072)
    floor (27555.5)     		ty = 27555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59814 / 27555 ti = "17/59814/27555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59814/27555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59814 ÷ 217
    59814 ÷ 131072     		x = 0.456344604492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27555 ÷ 217
    27555 ÷ 131072     		y = 0.210227966308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456344604492188 × 2 - 1) × π
    -0.087310791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.27429494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210227966308594 × 2 - 1) × π
    0.579544067382812 × 3.1415926535     		Φ = 1.82069138446935
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27429494} λ = -0.27429494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82069138446935))-π/2
    2×atan(6.17612705241556)-π/2
    2×1.41027562570466-π/2
    2.82055125140932-1.57079632675     		φ = 1.24975492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27429494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.715942°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24975492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.605682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59814 KachelY 27555 -0.27429494 1.24975492 -15.715942 71.605682
    Oben rechts KachelX + 1 59815 KachelY 27555 -0.27424700 1.24975492 -15.713196 71.605682
    Unten links KachelX 59814 KachelY + 1 27556 -0.27429494 1.24973980 -15.715942 71.604816
    Unten rechts KachelX + 1 59815 KachelY + 1 27556 -0.27424700 1.24973980 -15.713196 71.604816
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24975492-1.24973980) × R
    1.51200000000351e-05 × 6371000     		dl = 96.3295200002237m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24975492-1.24973980) × R
    1.51200000000351e-05 × 6371000     		dr = 96.3295200002237m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27429494--0.27424700) × cos(1.24975492) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.315554930073658 × 6371000     		do = 96.3785980283322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27429494--0.27424700) × cos(1.24973980) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.31556927751614 × 6371000     		du = 96.3829801065692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24975492)-sin(1.24973980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.315554930073658-0.31556927751614)×R²
    abs(-0.27424700--0.27429494)×1.43474424814105e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.43474424814105e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.43474424814105e-05×40589641000000     		ar = 9284.31514821324m²