Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59813 / 59268
↖ ↑ ↗
← S 80.987131°
E148.562622°		 ← 95.68 m → S 80.987131°
E148.568115°		 →
↑
95.69 m
↓
↑
95.69 m
↓
S 80.987992°
E148.562622°		 ← 95.67 m →
9 156 m²		 S 80.987992°
E148.568115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912681579589844 y=0.904365539550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912681579589844 × 216)
    floor (0.912681579589844 × 65536)
    floor (59813.5)     		tx = 59813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904365539550781 × 216)
    floor (0.904365539550781 × 65536)
    floor (59268.5)     		ty = 59268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59813 / 59268 ti = "16/59813/59268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59813/59268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59813 ÷ 216
    59813 ÷ 65536     		x = 0.912673950195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59268 ÷ 216
    59268 ÷ 65536     		y = 0.90435791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.912673950195312 × 2 - 1) × π
    0.825347900390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.59290690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90435791015625 × 2 - 1) × π
    -0.8087158203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.54065567986298
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59290690} λ = 2.59290690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54065567986298))-π/2
    2×atan(0.078814705629729)-π/2
    2×0.0786521185504045-π/2
    0.157304237100809-1.57079632675     		φ = -1.41349209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59290690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.562622°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41349209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.987131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59813 KachelY 59268 2.59290690 -1.41349209 148.562622 -80.987131
    Oben rechts KachelX + 1 59814 KachelY 59268 2.59300277 -1.41349209 148.568115 -80.987131
    Unten links KachelX 59813 KachelY + 1 59269 2.59290690 -1.41350711 148.562622 -80.987992
    Unten rechts KachelX + 1 59814 KachelY + 1 59269 2.59300277 -1.41350711 148.568115 -80.987992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41349209--1.41350711) × R
    1.50199999999767e-05 × 6371000     		dl = 95.6924199998517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41349209--1.41350711) × R
    1.50199999999767e-05 × 6371000     		dr = 95.6924199998517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59290690-2.59300277) × cos(-1.41349209) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.156656299958577 × 6371000     		do = 95.6837521081485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59290690-2.59300277) × cos(-1.41350711) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.156641465390146 × 6371000     		du = 95.6746913351771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41349209)-sin(-1.41350711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156656299958577-0.156641465390146)×R²
    abs(2.59300277-2.59290690)×1.48345684317652e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.48345684317652e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.48345684317652e-05×40589641000000     		ar = 9155.77627017893m²