Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59813 / 27557
↖ ↑ ↗
← N 71.603949°
W 15.718689°		 ← 96.39 m → N 71.603949°
W 15.715942°		 →
↑
96.39 m
↓
↑
96.39 m
↓
N 71.603082°
W 15.718689°		 ← 96.39 m →
9 291 m²		 N 71.603082°
W 15.715942°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456340789794922 y=0.210247039794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456340789794922 × 217)
    floor (0.456340789794922 × 131072)
    floor (59813.5)     		tx = 59813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210247039794922 × 217)
    floor (0.210247039794922 × 131072)
    floor (27557.5)     		ty = 27557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59813 / 27557 ti = "17/59813/27557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59813/27557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59813 ÷ 217
    59813 ÷ 131072     		x = 0.456336975097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27557 ÷ 217
    27557 ÷ 131072     		y = 0.210243225097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456336975097656 × 2 - 1) × π
    -0.0873260498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27434288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210243225097656 × 2 - 1) × π
    0.579513549804688 × 3.1415926535     		Φ = 1.82059551067011
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27434288} λ = -0.27434288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82059551067011))-π/2
    2×atan(6.17553495203436)-π/2
    2×1.41026049829176-π/2
    2.82052099658352-1.57079632675     		φ = 1.24972467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27434288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.718689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24972467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.603949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59813 KachelY 27557 -0.27434288 1.24972467 -15.718689 71.603949
    Oben rechts KachelX + 1 59814 KachelY 27557 -0.27429494 1.24972467 -15.715942 71.603949
    Unten links KachelX 59813 KachelY + 1 27558 -0.27434288 1.24970954 -15.718689 71.603082
    Unten rechts KachelX + 1 59814 KachelY + 1 27558 -0.27429494 1.24970954 -15.715942 71.603082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24972467-1.24970954) × R
    1.51299999999743e-05 × 6371000     		dl = 96.3932299998365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24972467-1.24970954) × R
    1.51299999999743e-05 × 6371000     		dr = 96.3932299998365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27434288--0.27429494) × cos(1.24972467) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.315583634375455 × 6371000     		do = 96.3873650610613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27434288--0.27429494) × cos(1.24970954) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.315597991162528 × 6371000     		du = 96.391749993377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24972467)-sin(1.24970954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.315583634375455-0.315597991162528)×R²
    abs(-0.27429494--0.27434288)×1.43567870729555e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.43567870729555e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.43567870729555e-05×40589641000000     		ar = 9291.30078831852m²