Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59812 / 59269
↖ ↑ ↗
← S 80.987992°
E148.557129°		 ← 95.67 m → S 80.987992°
E148.562622°		 →
↑
95.69 m
↓
↑
95.69 m
↓
S 80.988852°
E148.557129°		 ← 95.67 m →
9 155 m²		 S 80.988852°
E148.562622°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59812 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59269 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.912666320800781 y=0.904380798339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.912666320800781 × 216)
    floor (0.912666320800781 × 65536)
    floor (59812.5)     		tx = 59812
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904380798339844 × 216)
    floor (0.904380798339844 × 65536)
    floor (59269.5)     		ty = 59269
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59812 / 59269 ti = "16/59812/59269"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59812/59269.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59812 ÷ 216
    59812 ÷ 65536     		x = 0.91265869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59269 ÷ 216
    59269 ÷ 65536     		y = 0.904373168945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91265869140625 × 2 - 1) × π
    0.8253173828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.59281103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904373168945312 × 2 - 1) × π
    -0.808746337890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.54075155366222
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.59281103} λ = 2.59281103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54075155366222))-π/2
    2×atan(0.0788071497266766)-π/2
    2×0.0786446092885962-π/2
    0.157289218577192-1.57079632675     		φ = -1.41350711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.59281103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 148.557129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41350711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.987992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59812 KachelY 59269 2.59281103 -1.41350711 148.557129 -80.987992
    Oben rechts KachelX + 1 59813 KachelY 59269 2.59290690 -1.41350711 148.562622 -80.987992
    Unten links KachelX 59812 KachelY + 1 59270 2.59281103 -1.41352213 148.557129 -80.988852
    Unten rechts KachelX + 1 59813 KachelY + 1 59270 2.59290690 -1.41352213 148.562622 -80.988852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41350711--1.41352213) × R
    1.50199999999767e-05 × 6371000     		dl = 95.6924199998517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41350711--1.41352213) × R
    1.50199999999767e-05 × 6371000     		dr = 95.6924199998517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.59281103-2.59290690) × cos(-1.41350711) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.156641465390146 × 6371000     		do = 95.6746913351771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.59281103-2.59290690) × cos(-1.41352213) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.156626630786375 × 6371000     		du = 95.6656305406215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41350711)-sin(-1.41352213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156641465390146-0.156626630786375)×R²
    abs(2.59290690-2.59281103)×1.48346037701086e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.48346037701086e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.48346037701086e-05×40589641000000     		ar = 9154.90922204989m²