Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59810 / 35659
↖ ↑ ↗
← N 63.140708°
W 15.726929°		 ← 137.99 m → N 63.140708°
W 15.724182°		 →
↑
137.93 m
↓
↑
137.93 m
↓
N 63.139468°
W 15.726929°		 ← 138 m →
19 034 m²		 N 63.139468°
W 15.724182°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456317901611328 y=0.272060394287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456317901611328 × 217)
    floor (0.456317901611328 × 131072)
    floor (59810.5)     		tx = 59810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272060394287109 × 217)
    floor (0.272060394287109 × 131072)
    floor (35659.5)     		ty = 35659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59810 / 35659 ti = "17/59810/35659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59810/35659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59810 ÷ 217
    59810 ÷ 131072     		x = 0.456314086914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35659 ÷ 217
    35659 ÷ 131072     		y = 0.272056579589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456314086914062 × 2 - 1) × π
    -0.087371826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.27448669
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272056579589844 × 2 - 1) × π
    0.455886840820312 × 3.1415926535     		Φ = 1.43221074994842
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27448669} λ = -0.27448669}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43221074994842))-π/2
    2×atan(4.1879474699947)-π/2
    2×1.33640479032068-π/2
    2.67280958064136-1.57079632675     		φ = 1.10201325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27448669} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.726929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10201325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.140708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59810 KachelY 35659 -0.27448669 1.10201325 -15.726929 63.140708
    Oben rechts KachelX + 1 59811 KachelY 35659 -0.27443875 1.10201325 -15.724182 63.140708
    Unten links KachelX 59810 KachelY + 1 35660 -0.27448669 1.10199160 -15.726929 63.139468
    Unten rechts KachelX + 1 59811 KachelY + 1 35660 -0.27443875 1.10199160 -15.724182 63.139468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10201325-1.10199160) × R
    2.16499999998732e-05 × 6371000     		dl = 137.932149999192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10201325-1.10199160) × R
    2.16499999998732e-05 × 6371000     		dr = 137.932149999192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27448669--0.27443875) × cos(1.10201325) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.451800980167937 × 6371000     		do = 137.991648700427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27448669--0.27443875) × cos(1.10199160) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.451820294433112 × 6371000     		du = 137.997547774161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10201325)-sin(1.10199160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.451800980167937-0.451820294433112)×R²
    abs(-0.27443875--0.27448669)×1.93142651752076e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.93142651752076e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.93142651752076e-05×40589641000000     		ar = 19033.8916238504m²