Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59809 / 83168
↖ ↑ ↗
← S 43.516688°
W 15.729675°		 ← 221.44 m → S 43.516688°
W 15.726929°		 →
↑
221.52 m
↓
↑
221.52 m
↓
S 43.518680°
W 15.729675°		 ← 221.43 m →
49 053 m²		 S 43.518680°
W 15.726929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456310272216797 y=0.634525299072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456310272216797 × 217)
    floor (0.456310272216797 × 131072)
    floor (59809.5)     		tx = 59809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.634525299072266 × 217)
    floor (0.634525299072266 × 131072)
    floor (83168.5)     		ty = 83168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59809 / 83168 ti = "17/59809/83168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59809/83168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59809 ÷ 217
    59809 ÷ 131072     		x = 0.456306457519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83168 ÷ 217
    83168 ÷ 131072     		y = 0.634521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456306457519531 × 2 - 1) × π
    -0.0873870849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27453462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.634521484375 × 2 - 1) × π
    -0.26904296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.84522341410083
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27453462} λ = -0.27453462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.84522341410083))-π/2
    2×atan(0.429461399759434)-π/2
    2×0.405643416155645-π/2
    0.81128683231129-1.57079632675     		φ = -0.75950949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27453462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.729675°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75950949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.516688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59809 KachelY 83168 -0.27453462 -0.75950949 -15.729675 -43.516688
    Oben rechts KachelX + 1 59810 KachelY 83168 -0.27448669 -0.75950949 -15.726929 -43.516688
    Unten links KachelX 59809 KachelY + 1 83169 -0.27453462 -0.75954426 -15.729675 -43.518680
    Unten rechts KachelX + 1 59810 KachelY + 1 83169 -0.27448669 -0.75954426 -15.726929 -43.518680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75950949--0.75954426) × R
    3.47699999999618e-05 × 6371000     		dl = 221.519669999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75950949--0.75954426) × R
    3.47699999999618e-05 × 6371000     		dr = 221.519669999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27453462--0.27448669) × cos(-0.75950949) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.725173846387604 × 6371000     		do = 221.440557835962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27453462--0.27448669) × cos(-0.75954426) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.725149904515594 × 6371000     		du = 221.433246897324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75950949)-sin(-0.75954426))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725173846387604-0.725149904515594)×R²
    abs(-0.27448669--0.27453462)×2.39418720091589e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39418720091589e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39418720091589e-05×40589641000000     		ar = 49052.6295428874m²