Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59809 / 27553
↖ ↑ ↗
← N 71.607416°
W 15.729675°		 ← 96.35 m → N 71.607416°
W 15.726929°		 →
↑
96.39 m
↓
↑
96.39 m
↓
N 71.606549°
W 15.729675°		 ← 96.35 m →
9 288 m²		 N 71.606549°
W 15.726929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.456310272216797 y=0.210216522216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.456310272216797 × 217)
    floor (0.456310272216797 × 131072)
    floor (59809.5)     		tx = 59809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.210216522216797 × 217)
    floor (0.210216522216797 × 131072)
    floor (27553.5)     		ty = 27553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59809 / 27553 ti = "17/59809/27553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59809/27553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59809 ÷ 217
    59809 ÷ 131072     		x = 0.456306457519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27553 ÷ 217
    27553 ÷ 131072     		y = 0.210212707519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.456306457519531 × 2 - 1) × π
    -0.0873870849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.27453462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.210212707519531 × 2 - 1) × π
    0.579574584960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.82078725826859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.27453462} λ = -0.27453462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82078725826859))-π/2
    2×atan(6.17671920956639)-π/2
    2×1.41029075174139-π/2
    2.82058150348279-1.57079632675     		φ = 1.24978518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.27453462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.729675°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24978518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.607416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59809 KachelY 27553 -0.27453462 1.24978518 -15.729675 71.607416
    Oben rechts KachelX + 1 59810 KachelY 27553 -0.27448669 1.24978518 -15.726929 71.607416
    Unten links KachelX 59809 KachelY + 1 27554 -0.27453462 1.24977005 -15.729675 71.606549
    Unten rechts KachelX + 1 59810 KachelY + 1 27554 -0.27448669 1.24977005 -15.726929 71.606549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24978518-1.24977005) × R
    1.51299999999743e-05 × 6371000     		dl = 96.3932299998365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24978518-1.24977005) × R
    1.51299999999743e-05 × 6371000     		dr = 96.3932299998365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.27453462--0.27448669) × cos(1.24978518) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.315526215993941 × 6371000     		do = 96.3497258341871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.27453462--0.27448669) × cos(1.24977005) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.315540573069916 × 6371000     		du = 96.3541099400518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24978518)-sin(1.24977005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.315526215993941-0.315540573069916)×R²
    abs(-0.27448669--0.27453462)×1.4357075975191e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.4357075975191e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.4357075975191e-05×40589641000000     		ar = 9287.67258196429m²